問題は $(a+2b)^2(a-2b)^2$ を展開し、簡単な形にすることです。

1. 問題の内容

問題は $(a+2b)^2(a-2b)^2$ を展開し、簡単な形にすることです。

2. 解き方の手順

まず、$(a+2b)^2$ と $(a-2b)^2$ をそれぞれ展開します。

$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$

$(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(a+2b)^2(a-2b)^2 = (a^2 + 4ab + 4b^2)(a^2 - 4ab + 4b^2)$

ここで、$(a^2 + 4b^2)$ を $A$ と置くと、上の式は $(A + 4ab)(A - 4ab)$ となり、$A^2 - (4ab)^2$ となります。

したがって、

$(a^2 + 4ab + 4b^2)(a^2 - 4ab + 4b^2) = (a^2 + 4b^2)^2 - (4ab)^2$

$(a^2 + 4b^2)^2 = (a^2)^2 + 2(a^2)(4b^2) + (4b^2)^2 = a^4 + 8a^2b^2 + 16b^4$

$(4ab)^2 = 16a^2b^2$

よって、

$(a+2b)^2(a-2b)^2 = a^4 + 8a^2b^2 + 16b^4 - 16a^2b^2 = a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

これはさらに $(a^2 - 4b^2)^2$ と変形できます。

$(a+2b)^2(a-2b)^2 = [(a+2b)(a-2b)]^2 = (a^2 - 4b^2)^2 = a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

3. 最終的な答え

$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

または

$(a^2 - 4b^2)^2$