$\frac{x+y}{5} = \frac{y+z}{6} = \frac{z+x}{7}$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求めよ。ただし、$x, y, z$ は $x+y+z \neq 0$ を満たすものとする。

1. 問題の内容

$\frac{x+y}{5} = \frac{y+z}{6} = \frac{z+x}{7}$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求めよ。ただし、$x, y, z$ は $x+y+z \neq 0$ を満たすものとする。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{x+y}{5} = \frac{y+z}{6} = \frac{z+x}{7} = k$ と置きます。すると、

$x+y = 5k$

$y+z = 6k$

$z+x = 7k$

となります。これらの式を足し合わせると、

$2(x+y+z) = 18k$

$x+y+z = 9k$

となります。

この式から、$x, y, z$ を $k$ で表します。

$z = (x+y+z) - (x+y) = 9k - 5k = 4k$

$x = (x+y+z) - (y+z) = 9k - 6k = 3k$

$y = (x+y+z) - (z+x) = 9k - 7k = 2k$

したがって、$x=3k, y=2k, z=4k$ が得られます。

次に、$xy+yz+zx$ を計算します。

$xy+yz+zx = (3k)(2k) + (2k)(4k) + (4k)(3k) = 6k^2 + 8k^2 + 12k^2 = 26k^2$

次に、$x^2+y^2+z^2$ を計算します。

$x^2+y^2+z^2 = (3k)^2 + (2k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 4k^2 + 16k^2 = 29k^2$

最後に、求める値を計算します。

$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} = \frac{26k^2}{29k^2} = \frac{26}{29}$

3. 最終的な答え

$\frac{26}{29}$