与えられた式 $(x-2)(x+1)(x+2)(x+5)$ を展開する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-2)(x+1)(x+2)(x+5)$ を展開する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を適切に組み合わせます。$(x-2)$ と $(x+5)$、$(x+1)$ と $(x+2)$ をそれぞれペアにして展開すると、共通の項が出現しやすくなります。

$(x-2)(x+5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10$

$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 + 3x - 10)(x^2 + 3x + 2)$

ここで、$y = x^2 + 3x$ と置くと、式は $(y - 10)(y + 2)$ となり、展開が容易になります。

$(y - 10)(y + 2) = y^2 + 2y - 10y - 20 = y^2 - 8y - 20$

最後に、$y$ を $x^2 + 3x$ に戻します。

$(x^2 + 3x)^2 - 8(x^2 + 3x) - 20 = (x^4 + 6x^3 + 9x^2) - (8x^2 + 24x) - 20$

$= x^4 + 6x^3 + 9x^2 - 8x^2 - 24x - 20 = x^4 + 6x^3 + x^2 - 24x - 20$

3. 最終的な答え

$x^4 + 6x^3 + x^2 - 24x - 20$