与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、この式を $a$ について整理します。

$a^2b - ca^2 - ab^2 + c^2a + b^2c - bc^2 = (b-c)a^2 + (c^2 - b^2)a + (b^2c - bc^2)$

$= (b-c)a^2 + (c-b)(c+b)a + bc(b-c)$

$= (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$ が共通因数なので、くくり出します。

$(b-c)(a^2 - (b+c)a + bc) = (b-c)(a^2 - ab - ac + bc)$

$= (b-c)(a(a-b) - c(a-b)) = (b-c)(a-b)(a-c)$

通常、アルファベット順に並び替えるので、

$- (a-b)(b-c)(c-a) = (a-b)(b-c)(-c+a)=(a-b)(b-c)(a-c)$

あるいは、

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

与えられた式を因数分解した結果は、$-(a-b)(b-c)(c-a)$ または $(a-b)(b-c)(a-c)$ です。