次の連立不等式を解く問題です。 $ \begin{cases} (1-\sqrt{2})x > -1 \\ |2x+1| < 6 \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立不等式を解く問題です。

$\begin{cases} (1-\sqrt{2})x > -1 \\ |2x+1| < 6 \end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式を解きます。

$(1-\sqrt{2})x > -1$

$1-\sqrt{2}$ は負の数なので、両辺を $1-\sqrt{2}$ で割ると不等号の向きが変わります。

$x < \frac{-1}{1-\sqrt{2}}$

分母を有理化します。

$x < \frac{-1}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$

$x < \frac{-1-\sqrt{2}}{1-2}$

$x < \frac{-1-\sqrt{2}}{-1}$

$x < 1+\sqrt{2}$

次に、二つ目の不等式を解きます。

$|2x+1| < 6$

これは、

$-6 < 2x+1 < 6$

という不等式と同値です。

各辺から1を引きます。

$-7 < 2x < 5$

各辺を2で割ります。

$-\frac{7}{2} < x < \frac{5}{2}$

最後に、二つの不等式の解の共通部分を求めます。

$x < 1+\sqrt{2}$ と $-\frac{7}{2} < x < \frac{5}{2}$

$1+\sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$

$\frac{5}{2} = 2.5$

したがって、$1+\sqrt{2} < \frac{5}{2}$

よって、共通部分は

$-\frac{7}{2} < x < 1+\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{7}{2} < x < 1+\sqrt{2}$