$a$を正の定数とする。以下の不等式について、(1) 不等式を解き、(2) $a=4$のときの整数解の個数を求め、(3) 整数解がちょうど6個となるような$a$の範囲を求める。 $|2x-3| \le a$

1. 問題の内容

$a$を正の定数とする。以下の不等式について、(1) 不等式を解き、(2) $a=4$のときの整数解の個数を求め、(3) 整数解がちょうど6個となるような$a$の範囲を求める。

$|2x-3| \le a$

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|2x-3| \le a$ を解く。

絶対値の不等式は、$-a \le 2x-3 \le a$ と書き換えられる。

各辺に3を足すと、

$-a+3 \le 2x \le a+3$

各辺を2で割ると、

$\frac{-a+3}{2} \le x \le \frac{a+3}{2}$

(2) $a=4$のとき、不等式を満たす整数$x$の個数を求める。

(1)の結果に$a=4$を代入すると、

$\frac{-4+3}{2} \le x \le \frac{4+3}{2}$

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{7}{2}$

$-0.5 \le x \le 3.5$

これを満たす整数$x$は、$0, 1, 2, 3$ の4個である。

(3) 不等式を満たす整数$x$がちょうど6個存在するような$a$の値の範囲を求める。

(1)の結果から、$\frac{-a+3}{2} \le x \le \frac{a+3}{2}$ を満たす整数$x$が6個となるような$a$の範囲を求める。

$x$の範囲の中心は $\frac{3}{2} = 1.5$ であるから、整数解は中心から左右に広がっていく。

整数解が6個ということは、$x = -1, 0, 1, 2, 3, 4$となる場合を考える。

このとき、

$-1 \ge \frac{-a+3}{2}$ かつ $4 \le \frac{a+3}{2}$ である必要がある。

また、$x = -2$ または $x = 5$ が範囲に含まれてはいけないので、

$-2 < \frac{-a+3}{2}$ かつ $5 > \frac{a+3}{2}$ である必要がある。

まず、$-1 \ge \frac{-a+3}{2}$ より、$-2 \ge -a+3$, $a \ge 5$

次に、$4 \le \frac{a+3}{2}$ より、$8 \le a+3$, $a \ge 5$

次に、$-2 < \frac{-a+3}{2}$ より、$-4 < -a+3$, $a < 7$

最後に、$5 > \frac{a+3}{2}$ より、$10 > a+3$, $a < 7$

よって、$5 \le a < 7$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{3+a}{2}$

(2) 4個

(3) $5 \le a < 7$