次の方程式を解き、解を複素数平面上に図示せよ。 (1) $z^2 = i$ (2) $z^4 = -4$ (3) $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$

はい、承知いたしました。問題の解答を作成します。

1. 問題の内容

次の方程式を解き、解を複素数平面上に図示せよ。

(1) $z^2 = i$

(2) $z^4 = -4$

(3) $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$

2. 解き方の手順

(1) $z^2 = i$

$z = x + yi$ とおくと、

$(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = i$

したがって、$x^2 - y^2 = 0$ かつ $2xy = 1$

$x^2 = y^2$ より、$y = \pm x$

$2xy = 1$ なので、$x$ と $y$ は同符号である。

よって、$y = x$

$2x^2 = 1$ より、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$、

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$ または $z = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i$

複素数平面上では、$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$ は偏角$\frac{\pi}{4}$、$-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i$ は偏角$-\frac{3\pi}{4}$

(2) $z^4 = -4$

$z^4 = 4e^{i(\pi + 2k\pi)}$ ($k$は整数)

$z = \sqrt{2}e^{i(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2})}$

$k = 0, 1, 2, 3$ を代入して、

$z = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}, \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}, \sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{4}}, \sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}}$

$z = 1 + i, -1 + i, -1 - i, 1 - i$

(3) $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$

$z^2 = 2(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$

$z = \sqrt{2} e^{i(\frac{\pi}{6} + k\pi)}$ ($k = 0, 1$)

$z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{6}}, \sqrt{2} e^{i\frac{7\pi}{6}}$

$z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}), \sqrt{2}(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$

$z = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i), \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)$

$z = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i, -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i$

(2) $z = 1 + i, -1 + i, -1 - i, 1 - i$

(3) $z = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$