以下の6つの式を展開する問題です。 (1) $(x+y+z)(x+y-z)$ (2) $(x^2+2x-4)(x^2-2x-4)$ (3) $(a+2b)^2(a-2b)^2$ (4) $(3x-y)^2(3x+y)^2$ (5) $(x-2)(x+2)(x^2+4)$ (6) $(a^2+b^2)(a-b)(a+b)$

はい、承知いたしました。問題に取り組みます。

1. 問題の内容

以下の6つの式を展開する問題です。

(1) $(x+y+z)(x+y-z)$

(2) $(x^2+2x-4)(x^2-2x-4)$

(3) $(a+2b)^2(a-2b)^2$

(4) $(3x-y)^2(3x+y)^2$

(5) $(x-2)(x+2)(x^2+4)$

(6) $(a^2+b^2)(a-b)(a+b)$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で展開します。

(1) $(x+y+z)(x+y-z)$

$x+y=A$ と置くと、

$(A+z)(A-z) = A^2 - z^2 = (x+y)^2 - z^2 = x^2 + 2xy + y^2 - z^2$

(2) $(x^2+2x-4)(x^2-2x-4)$

$x^2-4=A$ と置くと、

$(A+2x)(A-2x) = A^2 - (2x)^2 = (x^2-4)^2 - 4x^2 = x^4 - 8x^2 + 16 - 4x^2 = x^4 - 12x^2 + 16$

(3) $(a+2b)^2(a-2b)^2$

$(a+2b)(a-2b) = a^2 - 4b^2$ なので、

$(a^2 - 4b^2)^2 = a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

(4) $(3x-y)^2(3x+y)^2$

$(3x-y)(3x+y) = 9x^2 - y^2$ なので、

$(9x^2 - y^2)^2 = 81x^4 - 18x^2y^2 + y^4$

(5) $(x-2)(x+2)(x^2+4)$

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$ なので、

$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = x^4 - 16$

(6) $(a^2+b^2)(a-b)(a+b)$

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ なので、

$(a^2+b^2)(a^2-b^2) = a^4 - b^4$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 2xy + y^2 - z^2$

(2) $x^4 - 12x^2 + 16$

(3) $a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

(4) $81x^4 - 18x^2y^2 + y^4$

(5) $x^4 - 16$

(6) $a^4 - b^4$