与えられた式 $(x^2 - 3xy + y^2)(x^2 - 2xy - y^2)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 - 3xy + y^2)(x^2 - 2xy - y^2)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

多項式を展開するために、分配法則を用います。具体的には、最初の多項式 $(x^2 - 3xy + y^2)$ の各項を、次の多項式 $(x^2 - 2xy - y^2)$ の各項に掛けます。

まず、$x^2$ を $(x^2 - 2xy - y^2)$ に掛けます。

$x^2(x^2 - 2xy - y^2) = x^4 - 2x^3y - x^2y^2$

次に、$-3xy$ を $(x^2 - 2xy - y^2)$ に掛けます。

$-3xy(x^2 - 2xy - y^2) = -3x^3y + 6x^2y^2 + 3xy^3$

最後に、$y^2$ を $(x^2 - 2xy - y^2)$ に掛けます。

$y^2(x^2 - 2xy - y^2) = x^2y^2 - 2xy^3 - y^4$

次に、これらの結果をすべて足し合わせます。

$(x^4 - 2x^3y - x^2y^2) + (-3x^3y + 6x^2y^2 + 3xy^3) + (x^2y^2 - 2xy^3 - y^4)$

$= x^4 - 2x^3y - 3x^3y - x^2y^2 + 6x^2y^2 + x^2y^2 + 3xy^3 - 2xy^3 - y^4$

最後に、同類項をまとめます。

$x^4 + (-2 - 3)x^3y + (-1 + 6 + 1)x^2y^2 + (3 - 2)xy^3 - y^4$

$= x^4 - 5x^3y + 6x^2y^2 + xy^3 - y^4$

3. 最終的な答え

$x^4 - 5x^3y + 6x^2y^2 + xy^3 - y^4$