与えられた式を部分分数分解し、aとbの値を求める問題です。式は次の通りです。 $$\frac{15x - 7}{(x+1)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+3}$$

1. 問題の内容

与えられた式を部分分数分解し、aとbの値を求める問題です。式は次の通りです。

$$\frac{15x - 7}{(x+1)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+3}$$

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$$\frac{15x - 7}{(x+1)(x+3)} = \frac{a(x+3) + b(x+1)}{(x+1)(x+3)}$$

分母が同じなので、分子を比較します。

$$15x - 7 = a(x+3) + b(x+1)$$

この式を展開します。

$$15x - 7 = ax + 3a + bx + b$$

次に、xの係数と定数項を比較して、連立方程式を立てます。

xの係数: $15 = a + b$

定数項: $-7 = 3a + b$

この連立方程式を解きます。

1つ目の式から、$b = 15 - a$ を得ます。

これを2つ目の式に代入すると、

$-7 = 3a + (15 - a)$

$-7 = 2a + 15$

$2a = -22$

$a = -11$

$a = -11$ を $b = 15 - a$ に代入すると、

$b = 15 - (-11)$

$b = 26$

したがって、$a = -11$ かつ $b = 26$ です。

3. 最終的な答え

a = -11

b = 26