与えられた分数の分母を有理化する問題です。つまり、$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ を計算し、最終的な結果を求めます。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。つまり、$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ を計算し、最終的な結果を求めます。

2. 解き方の手順

まず、分母の $1+\sqrt{2}$ を一つのグループと見て、$\sqrt{3}$ との和の形になっていると考えます。そして、分母の有理化のために、$1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$ を分母と分子の両方にかけることによって、$\sqrt{3}$ を消去します。

$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$

次に、分母を展開します。

$(1+\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3+2\sqrt{2}$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

よって、分母は以下のようになります。

$3+2\sqrt{2}-3 = 2\sqrt{2}$

したがって、式は以下のようになります。

$\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

さらに、分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$