与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + 2xy + y^2 - 5x - 5y + 6$ (2) $x^2 - 3xy + 2y^2 + x + y - 6$ (3) $3x^2 + 4xy + y^2 + 7x + y - 6$ (4) $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + 2xy + y^2 - 5x - 5y + 6$

(2) $x^2 - 3xy + 2y^2 + x + y - 6$

(3) $3x^2 + 4xy + y^2 + 7x + y - 6$

(4) $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + 2xy + y^2 - 5x - 5y + 6 = (x+y)^2 - 5(x+y) + 6$

ここで、$x+y = A$ とおくと、

$A^2 - 5A + 6 = (A-2)(A-3)$

$A$を元に戻すと、

$(x+y-2)(x+y-3)$

(2)

$x^2 - 3xy + 2y^2 + x + y - 6 = x^2 + (-3y+1)x + (2y^2+y-6)$

$2y^2 + y - 6 = (2y-3)(y+2)$

したがって、

$x^2 + (-3y+1)x + (2y-3)(y+2) = (x-(2y-3))(x-(y+2)) = (x-2y+3)(x-y-2)$

(3)

$3x^2 + 4xy + y^2 + 7x + y - 6 = 3x^2 + (4y+7)x + (y^2+y-6)$

$y^2+y-6 = (y+3)(y-2)$

$3x^2 + (4y+7)x + (y+3)(y-2) = (3x+y-2)(x+y+3)$

(4)

$2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1 = 2x^2 + (5y-1)x + (2y^2+y-1)$

$2y^2+y-1 = (2y-1)(y+1)$

$2x^2 + (5y-1)x + (2y-1)(y+1) = (2x+y+1)(x+2y-1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y-2)(x+y-3)$

(2) $(x-2y+3)(x-y-2)$

(3) $(3x+y-2)(x+y+3)$

(4) $(2x+y+1)(x+2y-1)$