与えられた式 $(a+b)^2(a-b)^2(a^4 + a^2b^2 + b^4)^2$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)^2(a-b)^2(a^4 + a^2b^2 + b^4)^2$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: $(a+b)^2(a-b)^2$ を展開する。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

したがって、

$(a+b)^2(a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2)$

これは、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形と見なせる。ここで、$A = a^2 + b^2$ 、 $B = 2ab$ とすると、

$(a+b)^2(a-b)^2 = (a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$

$= a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2$

$= a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

$= (a^2 - b^2)^2$

ステップ2: $(a^4 + a^2b^2 + b^4)^2$ を展開する。

$(a^4 + a^2b^2 + b^4)^2 = (a^4 + a^2b^2 + b^4)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$

$= a^8 + a^6b^2 + a^4b^4 + a^6b^2 + a^4b^4 + a^2b^6 + a^4b^4 + a^2b^6 + b^8$

$= a^8 + 2a^6b^2 + 3a^4b^4 + 2a^2b^6 + b^8$

ステップ3: ステップ1とステップ2の結果を掛け合わせる。

$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^8 + 2a^6b^2 + 3a^4b^4 + 2a^2b^6 + b^8)$

$= a^{12} + 2a^{10}b^2 + 3a^8b^4 + 2a^6b^6 + a^4b^8 - 2a^{10}b^2 - 4a^8b^4 - 6a^6b^6 - 4a^4b^8 - 2a^2b^{10} + a^8b^4 + 2a^6b^6 + 3a^4b^8 + 2a^2b^{10} + b^{12}$

$= a^{12} + (2-2)a^{10}b^2 + (3-4+1)a^8b^4 + (2-6+2)a^6b^6 + (1-4+3)a^4b^8 + (-2+2)a^2b^{10} + b^{12}$

$= a^{12} - 2a^6b^6 + b^{12}$

$= (a^4)^3 + (b^4)^3 - 2a^6b^6$

別の解法を試す。

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

$(a+b)^2(a-b)^2 = (a^2 - b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

$(a^4 + a^2b^2 + b^4)^2(a^4 - 2a^2b^2 + b^4) = (a^4 + a^2b^2 + b^4)(a^4 + a^2b^2 + b^4)(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)$

$= (a^4 + a^2b^2 + b^4)((a^4 + b^4)^2 - 2a^2b^2(a^4 + b^4) + (a^2b^2)^2)$

$((a^4 + a^2b^2 + b^4)(a^4 - a^2b^2 + b^4)) = (a^8 + a^4b^4 + b^8)$

$= a^{12}-b^{12}$

$(a^4 + a^2b^2 + b^4)(a^4 - 2a^2b^2 + b^4) = (a^8 - 2a^6b^2 + a^4b^4 + a^6b^2 - 2a^4b^4 + a^2b^6 + a^4b^4 - 2a^2b^6 + b^8) = a^8 - a^6b^2 + 0 + a^2b^6 + b^8$

$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$

よって、$a^{12} + b^{12}$ でもない。

元の式は$(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2$

$a^4+a^2b^2+b^4)^2 =(a^4+b^4+a^2b^2) = a^{4+a^8 +2a^4b^4b^8+ + =}$

$(a^2-b^2)$

(a^2+b^2)^2-ab}

$(a^2 -b^2 )((a^4+b^4+a^2b^2$

$(a^2)^3 - (b^4) \quad= a^{12

3. 最終的な答え

$a^{12} - 2a^6b^6 + b^{12}$