与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 + 1$ (2) $x^3 - 125$ (3) $8x^3 + 27y^3$ (4) $27a^3 - 64b^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 + 1$

(2) $x^3 - 125$

(3) $8x^3 + 27y^3$

(4) $27a^3 - 64b^3$

2. 解き方の手順

因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ と $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用します。

(1) $x^3 + 1 = x^3 + 1^3$ なので、$a=x$, $b=1$ として公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を適用します。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$

(2) $x^3 - 125 = x^3 - 5^3$ なので、$a=x$, $b=5$ として公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を適用します。

$x^3 - 125 = (x-5)(x^2 + 5x + 25)$

(3) $8x^3 + 27y^3 = (2x)^3 + (3y)^3$ なので、$a=2x$, $b=3y$ として公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を適用します。

$8x^3 + 27y^3 = (2x+3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x+3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(4) $27a^3 - 64b^3 = (3a)^3 - (4b)^3$ なので、$a=3a$, $b=4b$ として公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を適用します。

$27a^3 - 64b^3 = (3a-4b)((3a)^2 + (3a)(4b) + (4b)^2) = (3a-4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)(x^2-x+1)$

(2) $(x-5)(x^2+5x+25)$

(3) $(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)$

(4) $(3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)$