実数 $x, y$ に対して演算 $x \ominus y = x + y - xy$ が定義されている。 (1) $1 \ominus \sqrt{2}$ を計算する。 (2) $x \ominus x = -2$ となる $x$ を求める。 (3) 以下の命題の真偽を判定する。 * 「$x \ominus y$ が有理数であるならば、$x$ と $y$ はともに有理数である」 * 「$x \ominus y = 1$ であるならば、$x = 1$ または $y = 1$ である」

1. 問題の内容

実数 $x, y$ に対して演算 $x \ominus y = x + y - xy$ が定義されている。

(1) $1 \ominus \sqrt{2}$ を計算する。

(2) $x \ominus x = -2$ となる $x$ を求める。

(3) 以下の命題の真偽を判定する。

* 「$x \ominus y$ が有理数であるならば、$x$ と $y$ はともに有理数である」

* 「$x \ominus y = 1$ であるならば、$x = 1$ または $y = 1$ である」

2. 解き方の手順

(1) $1 \ominus \sqrt{2} = 1 + \sqrt{2} - 1 \cdot \sqrt{2} = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 1$

(2) $x \ominus x = x + x - x \cdot x = 2x - x^2$

$x \ominus x = -2$ より $2x - x^2 = -2$

$x^2 - 2x - 2 = 0$

解の公式より

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

(3)

命題1: 「$x \ominus y$ が有理数であるならば、$x$ と $y$ はともに有理数である」

反例：$x = \sqrt{2}, y = -\sqrt{2}$.

$x \ominus y = \sqrt{2} - \sqrt{2} - (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = 0 - (-2) = 2$

$x \ominus y$ は有理数だが、$x, y$ は無理数なので、この命題は偽である。

命題2: 「$x \ominus y = 1$ であるならば、$x = 1$ または $y = 1$ である」

$x \ominus y = x + y - xy = 1$

$x + y - xy - 1 = 0$

$x - xy + y - 1 = 0$

$x(1 - y) - (1 - y) = 0$

$(x - 1)(1 - y) = 0$

$(x - 1)(y - 1) = 0$

よって、$x = 1$ または $y = 1$ である。

したがって、この命題は真である。

3. 最終的な答え

(1) $1 \ominus \sqrt{2} = 1$

(2) $x = 1 \pm \sqrt{3}$

(3) シ: 偽 (1), ス: 真 (0)