与えられた問題は以下の3つです。 (1) $x = \sqrt{2} + 1$, $y = \sqrt{2} - 1$のとき、$x - y$の値を求める。 (2) $\sqrt{2}$の整数部分を$a$, 小数部分を$b$とするとき、$a^2 + 2ab + b^2$の値を求める。 (3) $\sqrt{3}$の整数部分を$a$, 小数部分を$b$とするとき、$ab - b^2 - 6b$の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の3つです。

(1) $x = \sqrt{2} + 1$, $y = \sqrt{2} - 1$のとき、$x - y$の値を求める。

(2) $\sqrt{2}$の整数部分を$a$, 小数部分を$b$とするとき、$a^2 + 2ab + b^2$の値を求める。

(3) $\sqrt{3}$の整数部分を$a$, 小数部分を$b$とするとき、$ab - b^2 - 6b$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x - y$を計算します。

$x - y = (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1)$

$x - y = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1$

$x - y = 2$

(2)

$\sqrt{2}$の整数部分$a$は1です。$\sqrt{2} \approx 1.414$なので。

$\sqrt{2}$の小数部分$b$は$\sqrt{2} - 1$です。

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$と因数分解できます。

$a + b = 1 + (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}$

したがって、

$(a+b)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

(3)

$\sqrt{3}$の整数部分$a$は1です。$\sqrt{3} \approx 1.732$なので。

$\sqrt{3}$の小数部分$b$は$\sqrt{3} - 1$です。

$ab - b^2 - 6b = b(a - b - 6)$

$a - b - 6 = 1 - (\sqrt{3} - 1) - 6 = 1 - \sqrt{3} + 1 - 6 = -4 - \sqrt{3}$

したがって、

$b(a - b - 6) = (\sqrt{3} - 1)(-4 - \sqrt{3}) = -4\sqrt{3} - 3 + 4 + \sqrt{3} = -3\sqrt{3} + 1$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 2

(3) $1 - 3\sqrt{3}$