$\sqrt{10}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$ab - b^2 - 6b$ の値を求めよ。また、$\sqrt{30}$ の小数部分を $x$ とするとき、$x^2 + 10x + 3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{10}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$ab - b^2 - 6b$ の値を求めよ。また、$\sqrt{30}$ の小数部分を $x$ とするとき、$x^2 + 10x + 3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{10}$ について

$3^2 = 9$、 $4^2 = 16$ より、$3 < \sqrt{10} < 4$ である。

したがって、$a = 3$ である。

また、$b = \sqrt{10} - a$ より、$b = \sqrt{10} - 3$ である。

$ab - b^2 - 6b = b(a - b - 6)$ に、$a = 3$、$b = \sqrt{10} - 3$ を代入する。

$b(a - b - 6) = (\sqrt{10} - 3)(3 - (\sqrt{10} - 3) - 6) = (\sqrt{10} - 3)(3 - \sqrt{10} + 3 - 6) = (\sqrt{10} - 3)(-\sqrt{10}) = -10 + 3\sqrt{10}$

(2) $\sqrt{30}$ について

$5^2 = 25$、 $6^2 = 36$ より、$5 < \sqrt{30} < 6$ である。

$\sqrt{30}$ の整数部分は5なので、$x = \sqrt{30} - 5$ である。

$x^2 + 10x + 3$ に、$x = \sqrt{30} - 5$ を代入する。

$x^2 + 10x + 3 = (\sqrt{30} - 5)^2 + 10(\sqrt{30} - 5) + 3 = (30 - 10\sqrt{30} + 25) + (10\sqrt{30} - 50) + 3 = 30 - 10\sqrt{30} + 25 + 10\sqrt{30} - 50 + 3 = 8$

3. 最終的な答え

$ab - b^2 - 6b = -10 + 3\sqrt{10}$

$x^2 + 10x + 3 = 8$