$\sqrt{10}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$ab - b^2 - 6$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{10}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$ab - b^2 - 6$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{10}$ の整数部分 $a$ を求める。

$3^2 = 9$ であり、$4^2 = 16$ であるから、$3 < \sqrt{10} < 4$ である。

したがって、$\sqrt{10}$ の整数部分は 3 である。よって、$a = 3$。

次に、小数部分 $b$ を求める。

$b = \sqrt{10} - a = \sqrt{10} - 3$

$ab - b^2 - 6$ に $a = 3$ と $b = \sqrt{10} - 3$ を代入する。

$3(\sqrt{10} - 3) - (\sqrt{10} - 3)^2 - 6 = 3\sqrt{10} - 9 - (10 - 6\sqrt{10} + 9) - 6 = 3\sqrt{10} - 9 - 10 + 6\sqrt{10} - 9 - 6 = 9\sqrt{10} - 34$

$3(\sqrt{10} - 3) - (\sqrt{10} - 3)^2 - 6 = 3\sqrt{10} - 9 - (10 - 6\sqrt{10} + 9) - 6 = 3\sqrt{10} - 9 - (19 - 6\sqrt{10}) - 6 = 3\sqrt{10} - 9 - 19 + 6\sqrt{10} - 6 = 9\sqrt{10} - 34$

しかし、これは問題が間違っている可能性がある。再度確認してみる。

$b = \sqrt{10} - 3$ を用いて、$ab - b^2 - 6 = b(a - b) - 6$ を計算する。

$b(a - b) - 6 = (\sqrt{10} - 3)(3 - (\sqrt{10} - 3)) - 6 = (\sqrt{10} - 3)(6 - \sqrt{10}) - 6 = 6\sqrt{10} - 10 - 18 + 3\sqrt{10} - 6 = 9\sqrt{10} - 34$

もう一度確認。

$a = 3$

$b = \sqrt{10} - 3$

$ab - b^2 - 6 = 3(\sqrt{10} - 3) - (\sqrt{10} - 3)^2 - 6 = 3\sqrt{10} - 9 - (10 - 6\sqrt{10} + 9) - 6 = 3\sqrt{10} - 9 - 10 + 6\sqrt{10} - 9 - 6 = 9\sqrt{10} - 34$

3. 最終的な答え

$9\sqrt{10} - 34$