(1) $n$ を正の整数とする。$15^n$ が 45 桁の整数となるような $n$ を求めよ。さらにこのとき、$15^n$ の最高位の数字を求めよ。 (2) $15^{-20}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか、また、その数字は何か。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010, \log_{10}3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

(1) $n$ を正の整数とする。$15^n$ が 45 桁の整数となるような $n$ を求めよ。さらにこのとき、$15^n$ の最高位の数字を求めよ。

(2) $15^{-20}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか、また、その数字は何か。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010, \log_{10}3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

$15^n$ が 45 桁の整数であるとき、

$44 \le \log_{10}15^n < 45$

$44 \le n \log_{10}15 < 45$

$44 \le n (\log_{10}3 + \log_{10}5) < 45$

$44 \le n (\log_{10}3 + \log_{10}\frac{10}{2}) < 45$

$44 \le n (\log_{10}3 + 1 - \log_{10}2) < 45$

$44 \le n (0.4771 + 1 - 0.3010) < 45$

$44 \le 1.1761n < 45$

$\frac{44}{1.1761} \le n < \frac{45}{1.1761}$

$37.41 \le n < 38.26$

$n$ は整数であるから、$n=38$。

$15^{38}$ の最高位の数字を求める。

$\log_{10}15^{38} = 38 \log_{10}15 = 38(1.1761) = 44.6918$

$\log_{10}15^{38} = 44 + 0.6918$

$15^{38} = 10^{44} \times 10^{0.6918}$

ここで、$\log_{10}4 = 2\log_{10}2 = 0.6020$

$\log_{10}5 = \log_{10}\frac{10}{2} = 1 - \log_{10}2 = 0.6990$

$0.6020 < 0.6918 < 0.6990$

$\log_{10}4 < 0.6918 < \log_{10}5$

したがって、$10^{0.6918}$ は 4 と 5 の間の数である。

最高位の数字は 4。

(2)

$15^{-20}$ について、

$\log_{10}15^{-20} = -20 \log_{10}15 = -20 (\log_{10}3 + \log_{10}5) = -20(\log_{10}3 + 1 - \log_{10}2) = -20(0.4771 + 1 - 0.3010) = -20(1.1761) = -23.522$

$15^{-20} = 10^{-23.522} = 10^{-24+0.478} = 10^{-24} \times 10^{0.478}$

$10^{0.478}$ は 1 と 10 の間の数であり、

$\log_{10}3 = 0.4771 < 0.478 < \log_{10}4 = 0.6020$

したがって、$10^{0.478}$ は 3 と 4 の間の数である。

よって、小数第 24 位に初めて 0 でない数字が現れ、その数字は 3 である。

3. 最終的な答え

(1) $n = 38$, 最高位の数字は 4

(2) 小数第 24 位、数字は 3