$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最小値とそのときの $x$ の値を、次の各場合についてそれぞれ求める問題。 (1) $0 < a < 4$ のとき (2) $a = 4$ のとき (3) $4 < a$ のとき

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最小値とそのときの $x$ の値を、次の各場合についてそれぞれ求める問題。

(1) $0 < a < 4$ のとき

(2) $a = 4$ のとき

(3) $4 < a$ のとき

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4) + 4 + 1 = -(x-2)^2 + 5$

よって、この2次関数のグラフは、頂点が $(2, 5)$ で、上に凸な放物線である。軸は $x = 2$ である。

(1) $0 < a < 4$ のとき

この範囲では、軸 $x=2$ が区間 $[0, a]$ に含まれるので、 $x=0$ で最小値をとる。

$x=0$ のとき、$y = -0^2 + 4(0) + 1 = 1$

よって、$x=0$ のとき、最小値1をとる。

(2) $a = 4$ のとき

区間 $[0, 4]$ の両端での値を調べる。

$x=0$ のとき、$y=1$

$x=4$ のとき、$y = -4^2 + 4(4) + 1 = -16 + 16 + 1 = 1$

$x=4$ で最小値を取る。

よって、$x=0$ および $x=4$ で最小値 1 をとる。

(3) $4 < a$ のとき

$x=a$ で最小値を取る。

$x=a$ のとき、$y = -a^2 + 4a + 1$

3. 最終的な答え

(1) $x=0$ のとき、最小値 $1$

(2) $x=0, 4$ のとき、最小値 $1$

(3) $x=a$ のとき、最小値 $-a^2 + 4a + 1$