与えられた式 $(a+b+c)^2 + (a+b-c)^2 + (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2$ を展開して、簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)^2 + (a+b-c)^2 + (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2$ を展開して、簡略化します。

2. 解き方の手順

各項を展開します。

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca$

$(b+c-a)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca$

$(c+a-b)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca$

これらの項をすべて足し合わせます。

$(a+b+c)^2 + (a+b-c)^2 + (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) + (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca)$

$= 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + (2ab + 2ab - 2ab - 2ab) + (2bc - 2bc + 2bc - 2bc) + (2ca - 2ca - 2ca + 2ca)$

$= 4a^2 + 4b^2 + 4c^2$

$= 4(a^2 + b^2 + c^2)$

3. 最終的な答え

$4(a^2 + b^2 + c^2)$