不等式 $|5x+2| - |3x-2| \ge 2$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $|5x+2| - |3x-2| \ge 2$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。絶対値の中身が0になる $x$ の値は $x=-\frac{2}{5}$ と $x=\frac{2}{3}$ です。したがって、以下の3つの場合に分けて考えます。

(i) $x < -\frac{2}{5}$ のとき

このとき、 $5x+2 < 0$ かつ $3x-2 < 0$ なので、 $|5x+2| = -(5x+2)$ 、 $|3x-2| = -(3x-2)$ となります。したがって、不等式は

$-(5x+2) - (-(3x-2)) \ge 2$

$-5x - 2 + 3x - 2 \ge 2$

$-2x - 4 \ge 2$

$-2x \ge 6$

$x \le -3$

$x < -\frac{2}{5}$ と $x \le -3$ の共通範囲は $x \le -3$ です。

(ii) $-\frac{2}{5} \le x < \frac{2}{3}$ のとき

このとき、 $5x+2 \ge 0$ かつ $3x-2 < 0$ なので、 $|5x+2| = 5x+2$ 、 $|3x-2| = -(3x-2)$ となります。したがって、不等式は

$(5x+2) - (-(3x-2)) \ge 2$

$5x + 2 + 3x - 2 \ge 2$

$8x \ge 2$

$x \ge \frac{1}{4}$

$-\frac{2}{5} \le x < \frac{2}{3}$ と $x \ge \frac{1}{4}$ の共通範囲は $\frac{1}{4} \le x < \frac{2}{3}$ です。

(iii) $x \ge \frac{2}{3}$ のとき

このとき、 $5x+2 > 0$ かつ $3x-2 \ge 0$ なので、 $|5x+2| = 5x+2$ 、 $|3x-2| = 3x-2$ となります。したがって、不等式は

$(5x+2) - (3x-2) \ge 2$

$5x + 2 - 3x + 2 \ge 2$

$2x + 4 \ge 2$

$2x \ge -2$

$x \ge -1$

$x \ge \frac{2}{3}$ と $x \ge -1$ の共通範囲は $x \ge \frac{2}{3}$ です。

(i), (ii), (iii) より、不等式を満たす $x$ の範囲は $x \le -3$ または $\frac{1}{4} \le x$ です。

3. 最終的な答え

$x \le -3$ または $\frac{1}{4} \le x$