(1) 2桁の自然数があり、十の位の数と一の位の数の和は13です。十の位と一の位の数字を入れ替えてできる数は、元の数より45大きくなります。元の自然数を求めなさい。 (2) 80人がテストを受けた結果、平均点は、男子が52点、女子が62点で、全体では58点でした。男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 2桁の自然数があり、十の位の数と一の位の数の和は13です。十の位と一の位の数字を入れ替えてできる数は、元の数より45大きくなります。元の自然数を求めなさい。

(2) 80人がテストを受けた結果、平均点は、男子が52点、女子が62点で、全体では58点でした。男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 2桁の自然数の問題を解きます。

* 十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ とします。

* 問題文より、

$x + y = 13$

* また、入れ替えてできる数は、元の数より45大きいので、

$10y + x = 10x + y + 45$

* この連立方程式を解きます。

$x + y = 13$ より $y = 13 - x$

$10y + x = 10x + y + 45$ に代入して、

$10(13 - x) + x = 10x + (13 - x) + 45$

$130 - 10x + x = 10x + 13 - x + 45$

$130 - 9x = 9x + 58$

$18x = 72$

$x = 4$

* $y = 13 - x = 13 - 4 = 9$

* よって、元の自然数は49です。

(2) テストの問題を解きます。

* 男子の人数を $m$、女子の人数を $w$ とします。

* 問題文より、

$m + w = 80$

* また、全体の平均点が58点なので、

$52m + 62w = 58 \times 80$

* この連立方程式を解きます。

$m + w = 80$ より $w = 80 - m$

$52m + 62w = 4640$ に代入して、

$52m + 62(80 - m) = 4640$

$52m + 4960 - 62m = 4640$

$-10m = -320$

$m = 32$

* $w = 80 - m = 80 - 32 = 48$

* よって、男子の人数は32人、女子の人数は48人です。

3. 最終的な答え

(1) 49

(2) 男子：32人、女子：48人