関数 $f(x)$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。 (1) $f(x) = x^2 + x$ のとき、$f(1)$, $f(\frac{1}{x})$, $f(x+1)$, $f(x+h) - f(x)$, $f(f(x))$ (2) $f(x) = x - \frac{1}{x}$ のとき、$f(1)$, $f(\frac{1}{x})$, $f(x+1)$, $f(x+h) - f(x)$, $f(f(x))$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。

(1) $f(x) = x^2 + x$ のとき、$f(1)$, $f(\frac{1}{x})$, $f(x+1)$, $f(x+h) - f(x)$, $f(f(x))$

(2) $f(x) = x - \frac{1}{x}$ のとき、$f(1)$, $f(\frac{1}{x})$, $f(x+1)$, $f(x+h) - f(x)$, $f(f(x))$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 + x$ の場合

* $f(1)$: $f(x)$ に $x=1$ を代入します。

$f(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

* $f(\frac{1}{x})$: $f(x)$ に $x=\frac{1}{x}$ を代入します。

$f(\frac{1}{x}) = (\frac{1}{x})^2 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{1+x}{x^2}$

* $f(x+1)$: $f(x)$ に $x=x+1$ を代入します。

$f(x+1) = (x+1)^2 + (x+1) = x^2 + 2x + 1 + x + 1 = x^2 + 3x + 2$

* $f(x+h) - f(x)$:

$f(x+h) = (x+h)^2 + (x+h) = x^2 + 2xh + h^2 + x + h$

$f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 + x + h) - (x^2 + x) = 2xh + h^2 + h$

* $f(f(x))$: $f(x)$ に $x=f(x)=x^2+x$ を代入します。

$f(f(x)) = (x^2+x)^2 + (x^2+x) = (x^4 + 2x^3 + x^2) + (x^2 + x) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x$

(2) $f(x) = x - \frac{1}{x}$ の場合

* $f(1)$: $f(x)$ に $x=1$ を代入します。

$f(1) = 1 - \frac{1}{1} = 1 - 1 = 0$

* $f(\frac{1}{x})$: $f(x)$ に $x=\frac{1}{x}$ を代入します。

$f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} - x = \frac{1 - x^2}{x}$

* $f(x+1)$: $f(x)$ に $x=x+1$ を代入します。

$f(x+1) = (x+1) - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1)^2 - 1}{x+1} = \frac{x^2 + 2x + 1 - 1}{x+1} = \frac{x^2 + 2x}{x+1}$

* $f(x+h) - f(x)$:

$f(x+h) = (x+h) - \frac{1}{x+h}$

$f(x+h) - f(x) = (x+h - \frac{1}{x+h}) - (x - \frac{1}{x}) = h - \frac{1}{x+h} + \frac{1}{x} = h + \frac{x+h-x}{x(x+h)} = h + \frac{h}{x(x+h)} = h(1 + \frac{1}{x(x+h)}) = h(\frac{x(x+h)+1}{x(x+h)}) = \frac{h(x^2 + xh + 1)}{x(x+h)}$

* $f(f(x))$: $f(x)$ に $x=f(x)=x-\frac{1}{x}$ を代入します。

$f(f(x)) = (x - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x - \frac{1}{x}} = x - \frac{1}{x} - \frac{1}{\frac{x^2-1}{x}} = x - \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2-1} = \frac{x(x^2-1)-(\frac{x^2-1}{x}) - x}{x^2-1} = \frac{x(x^2-1) - \frac{1}{x} (x^2-1) -x}{x^2-1} = \frac{x^4 - x^2 - (x^2 -1)/x - x^2 + x}{x^2-1} = \frac{x^4 - 2x^2+x}{x^3-x} = \frac{x(x^3 - x -x-1/x+1/x)}{x(x^2-1)} = \frac{x^4 -2x^2 +1 - x}{x^2 - 1} = \frac{x(x^2-1)}{1} = \frac{x(x^3 -x-1+1/x-x-x)}{x^2 - 1} = \frac{x^2 (x - 1/x)}{ x - 1/x}= (x-\frac{1}{x}) - \frac{x}{x^2-1} = \frac{x^4 - x^2 -x^2+1}{x(x^2 -1)} = \frac{x^4-2x^2 +1}{x(x^2-1)} = \frac{(x^2-1)^2}{x(x^2-1)} = \frac{x^2-1}{x} = x - \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^2 + x$ のとき

$f(1) = 2$

$f(\frac{1}{x}) = \frac{1+x}{x^2}$

$f(x+1) = x^2 + 3x + 2$

$f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2 + h$

$f(f(x)) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x$

(2) $f(x) = x - \frac{1}{x}$ のとき

$f(1) = 0$

$f(\frac{1}{x}) = \frac{1 - x^2}{x}$

$f(x+1) = \frac{x^2 + 2x}{x+1}$

$f(x+h) - f(x) = \frac{h(x^2 + xh + 1)}{x(x+h)}$

$f(f(x)) = \frac{x^2-1}{x} = x-\frac{1}{x}$