与えられた式は、$ \frac{5x-7}{(x+1)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+3} $ の形で与えられています。この式から、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式は、$\frac{5x-7}{(x+1)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+3}$ の形で与えられています。この式から、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形して、$a$ と $b$ を求めます。

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+3} = \frac{a(x+3) + b(x+1)}{(x+1)(x+3)}$

したがって、

$\frac{5x-7}{(x+1)(x+3)} = \frac{a(x+3) + b(x+1)}{(x+1)(x+3)}$

分母が同じなので、分子を比較します。

$5x-7 = a(x+3) + b(x+1)$

$5x-7 = ax + 3a + bx + b$

$5x-7 = (a+b)x + (3a+b)$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a+b = 5$

$3a+b = -7$

この連立方程式を解きます。2番目の式から1番目の式を引くと、

$(3a+b) - (a+b) = -7 - 5$

$2a = -12$

$a = -6$

$a = -6$ を $a+b = 5$ に代入すると、

$-6 + b = 5$

$b = 11$

したがって、$a = -6$、$b = 11$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 11$