$a \geq \frac{1}{2}$ の条件の下で、$x = \sqrt{2a - 1}$ のとき、$\sqrt{a^2 - x^2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a \geq \frac{1}{2}$ の条件の下で、$x = \sqrt{2a - 1}$ のとき、$\sqrt{a^2 - x^2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $x = \sqrt{2a - 1}$ を2乗する。

$x^2 = (\sqrt{2a - 1})^2$

$x^2 = 2a - 1$

求める値 $\sqrt{a^2 - x^2}$ の式に、$x^2 = 2a - 1$ を代入する。

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - (2a - 1)}$

根号の中を整理する。

$\sqrt{a^2 - (2a - 1)} = \sqrt{a^2 - 2a + 1}$

根号の中を因数分解する。

$\sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a - 1)^2}$

根号を外す。$a \geq \frac{1}{2}$ より $a - 1$ は負になる可能性があるので、場合分けが必要になる可能性があるが、ルートの中身が $(a-1)^2$ となっているため、絶対値を取る必要はない。

$\sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|$

$a \geq \frac{1}{2}$ という条件だけでは、$a-1$ の正負を判断できない。しかし、x が実数として定義されているためには、$2a-1 \geq 0$でなければならず、これは $a \geq \frac{1}{2}$ という条件を満たしている必要がある。

ここで、$x = \sqrt{2a - 1}$ が与えられているので、$x$ は必ず実数であり、$\sqrt{2a - 1}$ が定義されるためには、$2a - 1 \geq 0$ である必要がある。

これはすなわち、$a \geq \frac{1}{2}$ である。

$\sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|$ であった。

もし $a \geq 1$ であれば、 $|a - 1| = a - 1$ となる。

もし $\frac{1}{2} \leq a < 1$ であれば、 $|a - 1| = -(a - 1) = 1 - a$ となる。

元の式は、$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|$ であった。

$x^2 = 2a - 1$ とすると、$a = \frac{x^2 + 1}{2}$ となる。

したがって、

$|a - 1| = |\frac{x^2 + 1}{2} - 1| = |\frac{x^2 - 1}{2}| = \frac{|x^2 - 1|}{2}$

しかし、問題文は $\sqrt{a^2 - x^2}$ の値を「求めよ」であり、a の値の範囲によって値が変わるような聞き方はしないことから、a の範囲に関わらず一定の値となることが想定される。

問題文をよく読むと、$x = \sqrt{2a - 1}$ なので、$x^2 = 2a - 1$ である。したがって、$a = \frac{x^2 + 1}{2}$ である。

これを $\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - (2a - 1)} = \sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|$ に代入すると、

$\left| \frac{x^2+1}{2} - 1 \right| = \left| \frac{x^2 - 1}{2} \right| = \frac{|x^2 - 1|}{2}$

ここで $x = \sqrt{2a - 1}$ なので $a \ge \frac{1}{2}$ 。

$a \ge \frac{1}{2}$ のとき、$x^2 = 2a - 1 \ge 0$。

$a=1$ のとき、$x=1$

$a=\frac{1}{2}$ のとき、$x=0$

$a - 1$ は正にも負にもなりうる。

$\sqrt{(a-1)^2} = |a - 1| = \sqrt{(\frac{x^2+1}{2} - 1)^2} = \frac{|x^2 - 1|}{2} = \frac{|\sqrt{2a-1}^2 - 1|}{2} = \frac{|2a - 1 - 1|}{2} = \frac{|2a - 2|}{2} = |a - 1|$

$|a-1|$ は、$a \ge 1$ なら $a-1$、$a < 1$ なら $1-a$ である。

正しくは $\sqrt{a^2 - x^2} = |a - 1|$

3. 最終的な答え

$|a-1|$