問題1は、$A = x+y+z$, $B = 2x-y-z$, $C = x-y-3z$のとき、与えられた式を計算する問題です。 問題2は、与えられた式を展開する問題です。 問題3は、与えられた式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

問題1は、$A = x+y+z$, $B = 2x-y-z$, $C = x-y-3z$のとき、与えられた式を計算する問題です。

問題2は、与えられた式を展開する問題です。

問題3は、与えられた式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

問題1(1)

$2(A-B) - (B-C)$ に $A, B, C$ を代入します。

$2((x+y+z) - (2x-y-z)) - ((2x-y-z) - (x-y-3z))$

$= 2(-x + 2y + 2z) - (x + 2z)$

$= -2x + 4y + 4z - x - 2z$

$= -3x + 4y + 2z$

問題1(2)

$3(A+C) - 2(2B-A)$ に $A, B, C$ を代入します。

$3((x+y+z) + (x-y-3z)) - 2(2(2x-y-z) - (x+y+z))$

$= 3(2x - 2z) - 2(4x - 2y - 2z - x - y - z)$

$= 6x - 6z - 2(3x - 3y - 3z)$

$= 6x - 6z - 6x + 6y + 6z$

$= 6y$

問題2(1)

$(2m+5)(m-2)$ を展開します。

$= 2m^2 - 4m + 5m - 10$

$= 2m^2 + m - 10$

問題2(2)

$(4x-5a)(4x+5a)$ を展開します。

これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の形なので、

$(4x)^2 - (5a)^2 = 16x^2 - 25a^2$

問題2(3)

$(-x-2)^2$ を展開します。

$= (-x-2)(-x-2)$

$= x^2 + 2x + 2x + 4$

$= x^2 + 4x + 4$

問題2(4)

$(x-a)(a+x)$ を展開します。

$= (x-a)(x+a) = x^2 - a^2$

問題2(5)

$(x-a+1)^2$ を展開します。

$= (x-a+1)(x-a+1)$

$= x(x-a+1) - a(x-a+1) + 1(x-a+1)$

$= x^2 - ax + x - ax + a^2 - a + x - a + 1$

$= x^2 - 2ax + 2x + a^2 - 2a + 1$

問題2(6)

$(a+b-c)(a-b+c)$ を展開します。

$((a+(b-c))(a-(b-c)) = a^2 - (b-c)^2$

$= a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)$

$= a^2 - b^2 + 2bc - c^2$

問題3(1)

$2ax^2 - 8a$ を因数分解します。

$= 2a(x^2 - 4)$

$= 2a(x-2)(x+2)$

問題3(2)

$ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$ を因数分解します。

$= ax^2 - bx^2 + by^2 - ay^2$

$= x^2(a-b) - y^2(a-b)$

$= (a-b)(x^2-y^2)$

$= (a-b)(x-y)(x+y)$

問題3(3)

$(x-4)(3x+1)+10$ を因数分解します。

$= 3x^2 + x - 12x - 4 + 10$

$= 3x^2 - 11x + 6$

$= (3x-2)(x-3)$

問題3(4)

$4n^3 + 6n^2 + 2n$ を因数分解します。

$= 2n(2n^2 + 3n + 1)$

$= 2n(2n+1)(n+1)$

問題3(5)

$x^3 + x^2y - x^2 - y$ を因数分解します。

$= x^2(x+y) - (x^2 + y)$

$= x^2(x+y) - (x^2 - y)$

$= x^2(x+y) - (x^2-y)$

$= x^2(x+y) - (x^2 + y)$

$= x^2(x+y) - (x^2+y) = (x^2-1)(x+y) = (x-1)(x+1)(x+y)$

問題3(6)

$4x^2 - y^2 - 2y - 1$ を因数分解します。

$= 4x^2 - (y^2 + 2y + 1)$

$= (2x)^2 - (y+1)^2$

$= (2x - (y+1))(2x + (y+1))$

$= (2x - y - 1)(2x + y + 1)$

問題3(7)

$x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$

$= x^2 + (2a+4)x - 3a^2 + 8a + 3$

$= x^2 + (2a+4)x - (3a^2 - 8a - 3)$

$= x^2 + (2a+4)x - (3a+1)(a-3)$

$= (x+3a+1)(x-(a-3))=(x+3a+1)(x-a+3)$

問題3(8)

$2x^2 - xy - 3y^2 - 3x + 7y - 2$ を因数分解します。

$= 2x^2 + (-y-3)x - (3y^2 - 7y + 2)$

$= 2x^2 + (-y-3)x - (3y-1)(y-2)$

$= (2x + (3y-1))(x-(y-2))$

$= (2x+3y-1)(x-y+2)$

3. 最終的な答え

問題1(1): $-3x + 4y + 2z$

問題1(2): $6y$

問題2(1): $2m^2 + m - 10$

問題2(2): $16x^2 - 25a^2$

問題2(3): $x^2 + 4x + 4$

問題2(4): $x^2 - a^2$

問題2(5): $x^2 - 2ax + 2x + a^2 - 2a + 1$

問題2(6): $a^2 - b^2 + 2bc - c^2$

問題3(1): $2a(x-2)(x+2)$

問題3(2): $(a-b)(x-y)(x+y)$

問題3(3): $(3x-2)(x-3)$

問題3(4): $2n(2n+1)(n+1)$

問題3(5): $(x-1)(x+1)(x+y)$

問題3(6): $(2x - y - 1)(2x + y + 1)$

問題3(7): $(x+3a+1)(x-a+3)$

問題3(8): $(2x+3y-1)(x-y+2)$