問題25と問題26の各式を展開せよ。 問題25は3乗の展開、問題26は公式を利用した展開を行う問題です。

1. 問題の内容

問題25と問題26の各式を展開せよ。

問題25は3乗の展開、問題26は公式を利用した展開を行う問題です。

2. 解き方の手順

問題25

(1) $(x+3)^3$

二項定理、もしくは$(x+3)^3 = (x+3)(x+3)(x+3)$として計算します。

$(x+3)^3 = x^3 + 3(x^2)(3) + 3(x)(3^2) + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

(2) $(a-2)^3$

二項定理、もしくは$(a-2)^3 = (a-2)(a-2)(a-2)$として計算します。

$(a-2)^3 = a^3 - 3(a^2)(2) + 3(a)(2^2) - 2^3 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

(3) $(3x+2y)^3$

二項定理を利用します。

$(3x+2y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2(2y) + 3(3x)(2y)^2 + (2y)^3 = 27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3$

(4) $(-2a+b)^3$

二項定理を利用します。

$(-2a+b)^3 = (-2a)^3 + 3(-2a)^2(b) + 3(-2a)(b)^2 + (b)^3 = -8a^3 + 12a^2b - 6ab^2 + b^3$

問題26

(1) $(x+3)(x^2-3x+9)$

$A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$の公式を利用します。

$(x+3)(x^2-3x+9) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27$

(2) $(x-1)(x^2+x+1)$

$A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$の公式を利用します。

$(x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$

(3) $(2a-5b)(4a^2+10ab+25b^2)$

$A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$の公式を利用します。

$(2a-5b)(4a^2+10ab+25b^2) = (2a)^3 - (5b)^3 = 8a^3 - 125b^3$

(4) $(3x+4y)(9x^2-12xy+16y^2)$

$A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$の公式を利用します。

$(3x+4y)(9x^2-12xy+16y^2) = (3x)^3 + (4y)^3 = 27x^3 + 64y^3$

3. 最終的な答え

問題25

(1) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

(2) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

(3) $27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3$

(4) $-8a^3 + 12a^2b - 6ab^2 + b^3$

問題26

(1) $x^3 + 27$

(2) $x^3 - 1$

(3) $8a^3 - 125b^3$

(4) $27x^3 + 64y^3$