方程式 $|x| + 2|x-2| = x + 2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

方程式 $|x| + 2|x-2| = x + 2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号があるので、場合分けを行います。絶対値の中身が正になるか負になるかで場合分けをします。

$x$と$x-2$があるので、$x<0$, $0 \le x < 2$, $2 \le x$ の3つの場合に分けます。

(i) $x < 0$ のとき

$|x| = -x$ であり、$|x-2| = -(x-2) = -x+2$ であるから、方程式は

$-x + 2(-x+2) = x+2$

$-x -2x + 4 = x+2$

$-3x + 4 = x+2$

$-4x = -2$

$x = \frac{1}{2}$

これは $x<0$ を満たさないので、解ではありません。

(ii) $0 \le x < 2$ のとき

$|x| = x$ であり、$|x-2| = -(x-2) = -x+2$ であるから、方程式は

$x + 2(-x+2) = x+2$

$x -2x + 4 = x+2$

$-x + 4 = x+2$

$-2x = -2$

$x = 1$

これは $0 \le x < 2$ を満たすので、解です。

(iii) $2 \le x$ のとき

$|x| = x$ であり、$|x-2| = x-2$ であるから、方程式は

$x + 2(x-2) = x+2$

$x + 2x - 4 = x+2$

$3x - 4 = x+2$

$2x = 6$

$x = 3$

これは $2 \le x$ を満たすので、解です。

3. 最終的な答え

$x = 1, 3$