実数 $a, k$ に対して、2つの関数 $f(x) = x^2 + (2-2a)x - 6a + 3$ と $g(x) = 2x^2 - 2ax - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k$ が与えられています。$f(x)$ の最小値を $M$, $g(x)$ の最小値を $m$ とします。 (1) $a=0$ のときの $M$ の値を求めます。 (2) $m$ を $a, k$ を用いて表します。 (3) $M$ と $m$ の小さくない方を $a$ の関数とみなし、$h(a)$ とします。すなわち、$M \ge m$ のとき $h(a) = M$, $M \le m$ のとき $h(a) = m$ です。 (i) $k=-1$ のとき、$h(a) = -\frac{1}{4}$ となるような $a$ の値を求めます。 (ii) $h(a)$ が異なる3個以上の $a$ の値に対して同じ値をとることがあるような $k$ のとり得る値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

実数 $a, k$ に対して、2つの関数 $f(x) = x^2 + (2-2a)x - 6a + 3$ と $g(x) = 2x^2 - 2ax - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k$ が与えられています。$f(x)$ の最小値を $M$, $g(x)$ の最小値を $m$ とします。

(1) $a=0$ のときの $M$ の値を求めます。

(2) $m$ を $a, k$ を用いて表します。

(3) $M$ と $m$ の小さくない方を $a$ の関数とみなし、$h(a)$ とします。すなわち、$M \ge m$ のとき $h(a) = M$, $M \le m$ のとき $h(a) = m$ です。

(i) $k=-1$ のとき、$h(a) = -\frac{1}{4}$ となるような $a$ の値を求めます。

(ii) $h(a)$ が異なる3個以上の $a$ の値に対して同じ値をとることがあるような $k$ のとり得る値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a=0$ のとき、$f(x) = x^2 + 2x + 3$ となります。平方完成すると $f(x) = (x+1)^2 + 2$ となるため、$M = 2$ です。

(2) $g(x) = 2x^2 - 2ax - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k = 2(x^2 - ax) - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k = 2(x - \frac{a}{2})^2 - 2(\frac{a}{2})^2 - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k = 2(x - \frac{a}{2})^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k = 2(x - \frac{a}{2})^2 - a^2 + 2a + k$ となります。

したがって、$m = -a^2 + 2a + k$ です。

(3) (i) $k=-1$ のとき、$m = -a^2 + 2a - 1 = -(a-1)^2$ です。

また、$f(x) = x^2 + (2-2a)x - 6a + 3 = (x + 1 - a)^2 - (1-a)^2 - 6a + 3 = (x+1-a)^2 - (1 - 2a + a^2) - 6a + 3 = (x+1-a)^2 - a^2 - 4a + 2$ より、$M = -a^2 - 4a + 2$ です。

$h(a) = -\frac{1}{4}$ となる場合を考えます。

$M \ge m$ のとき、$h(a) = M = -a^2 - 4a + 2 = -\frac{1}{4}$ より、$a^2 + 4a - \frac{9}{4} = 0$ となります。これを解くと、$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 9}}{2} = \frac{-4 \pm 5}{2} = \frac{1}{2}, -\frac{9}{2}$ となります。

$M \le m$ のとき、$h(a) = m = -a^2 + 2a - 1 = -\frac{1}{4}$ より、$a^2 - 2a + \frac{3}{4} = 0$ となります。これを解くと、$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 3}}{2} = \frac{2 \pm 1}{2} = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$ となります。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、$M = -(\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 2 = -\frac{1}{4} - 2 + 2 = -\frac{1}{4}$、$m = -(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 1 = -\frac{1}{4} + 1 - 1 = -\frac{1}{4}$ なので、$M = m$ が成り立ちます。

$a = -\frac{9}{2}$ のとき、$M = -(-\frac{9}{2})^2 - 4(-\frac{9}{2}) + 2 = -\frac{81}{4} + 18 + 2 = -\frac{81}{4} + 20 = -\frac{1}{4}$、$m = -(-\frac{9}{2})^2 + 2(-\frac{9}{2}) - 1 = -\frac{81}{4} - 9 - 1 = -\frac{81}{4} - 10 = -\frac{121}{4}$ なので、$M > m$ が成り立ちます。

$a = \frac{3}{2}$ のとき、$M = -(\frac{3}{2})^2 - 4(\frac{3}{2}) + 2 = -\frac{9}{4} - 6 + 2 = -\frac{9}{4} - 4 = -\frac{25}{4}$、$m = -(\frac{3}{2})^2 + 2(\frac{3}{2}) - 1 = -\frac{9}{4} + 3 - 1 = -\frac{9}{4} + 2 = -\frac{1}{4}$ なので、$M < m$ が成り立ちます。

したがって、$h(a) = -\frac{1}{4}$ となる $a$ の値は、$-\frac{9}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ です。

(ii) $M = -a^2 - 4a + 2$, $m = -a^2 + 2a + k$

$M - m = (-a^2 - 4a + 2) - (-a^2 + 2a + k) = -6a + 2 - k$

$M = m$ となるのは $-6a + 2 - k = 0$、すなわち $a = \frac{2-k}{6}$ のときです。

$h(a)$ が異なる3個以上の $a$ の値に対して同じ値をとるためには、$M(a)$ と $m(a)$ のグラフが接する必要があります。

$M - m = 0$ となるのは、$a = (2-k)/6$ です。$M = -a^2 - 4a + 2$, $m = -a^2 + 2a + k$ でした。このときの$M$ の値を求めると、

$-(\frac{2-k}{6})^2 -4(\frac{2-k}{6}) + 2$ となります。

接する条件は、$k$ の値を調整して、$M(a)=m(a)$ となる $a$ の値が3つ以上存在することです。

$M$と$m$が接するとき、接点の個数は1つとなります。$M=m$となる$a$は1つ。$h(a)$が同じ値になるには、少なくとも$M$と$m$が交わらない必要があります。

$h(a)$ が同じ値をとるためには、$M = c$ または $m = c$ が３つ以上の解を持つ必要があります。$M, m$ は2次関数なので、$M = m$ が3個以上の異なる解を持つことはありません。したがって、$M=m$とならないときに、$h(a)$が同じ値を取るのは、$M$と$m$が交わらないとき。

交わらないということは、$M(a)>m(a)$または$M(a)<m(a)$が常に成り立つということ。

条件より、異なる3個以上の $a$ の値に対して $h(a)$ が同じ値をとるということは、$M(a)$または $m(a)$が定数となる必要がありますが、$a$の関数なのでありえません。したがって、$M(a)$ と $m(a)$ のグラフが接することが条件となります。

3. 最終的な答え

(1) $M = 2$

(2) $m = -a^2 + 2a + k$

(3) (i) $a = -\frac{9}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

(ii) 該当する $k$ の値は存在しない。