$x^2 + (3y - 2)x + (2y^2 - 3y + 1)$

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1. 問題の内容

次の2つの式を因数分解せよ。

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 - 2x - 3y + 1$

(2) $3x^2 - 5ax + 2a^2 - 3x + a - 6$

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2. 解き方の手順

**(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 - 2x - 3y + 1$**

1. $x$ について整理する。

$x^2 + (3y - 2)x + (2y^2 - 3y + 1)$

2. 定数項を因数分解する。

$2y^2 - 3y + 1 = (2y - 1)(y - 1)$

3. 全体の式を因数分解する。$x$ の係数が $3y-2$ であり、定数項が $(2y - 1)(y - 1)$ なので、 $(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になると仮定する。

$x^2 + (3y - 2)x + (2y - 1)(y - 1) = (x + 2y - 1)(x + y - 1)$ となる。

4. $(x + 2y - 1)(x + y - 1)$ を展開して、元の式と一致することを確認する。

$(x + 2y - 1)(x + y - 1) = x^2 + xy - x + 2xy + 2y^2 - 2y - x - y + 1 = x^2 + 3xy + 2y^2 - 2x - 3y + 1$

**(2) $3x^2 - 5ax + 2a^2 - 3x + a - 6$**

1. $x$ について整理する。

$3x^2 + (-5a - 3)x + (2a^2 + a - 6)$

2. 定数項を因数分解する。

$2a^2 + a - 6 = (2a - 3)(a + 2)$

3. 全体の式を因数分解する。$x$ の係数が $-5a - 3$ であり、定数項が $(2a - 3)(a + 2)$ なので、 $(3x + pa + q)(x + ra + s)$ の形になると仮定する。

$3x^2 + (-5a - 3)x + (2a - 3)(a + 2) = (3x - 2a + 3)(x - a - 2)$ となる。

4. $(3x - 2a + 3)(x - a - 2)$ を展開して、元の式と一致することを確認する。

$(3x - 2a + 3)(x - a - 2) = 3x^2 - 3ax - 6x - 2ax + 2a^2 + 4a + 3x - 3a - 6 = 3x^2 - 5ax + 2a^2 - 3x + a - 6$

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3. 最終的な答え

(1) $(x + 2y - 1)(x + y - 1)$

(2) $(3x - 2a + 3)(x - a - 2)$