問題は、関数 $y=x^2$ のグラフ上に2点A(-1,a)とB(2,b)があるとき、以下の問いに答えるものです。 (1) a, b の値をそれぞれ求めよ。 (2) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。 (3) △AOBの面積を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、関数 $y=x^2$ のグラフ上に2点A(-1,a)とB(2,b)があるとき、以下の問いに答えるものです。

(1) a, b の値をそれぞれ求めよ。

(2) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。

(3) △AOBの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) a, b の値を求める。

点A(-1,a)が $y=x^2$ 上にあるので、$x=-1$ を代入すると、$y = (-1)^2 = 1$ より、$a = 1$。

点B(2,b)が $y=x^2$ 上にあるので、$x=2$ を代入すると、$y = 2^2 = 4$ より、$b = 4$。

(2) 2点A, Bを通る直線の式を求める。

A(-1, 1), B(2, 4)を通る直線の式を $y = mx + n$ とおく。

A(-1, 1)を通るので、$1 = -m + n$。

B(2, 4)を通るので、$4 = 2m + n$。

この2式を連立して解く。

$4 = 2m + n$

$1 = -m + n$

上の式から下の式を引くと、$3 = 3m$ より、$m = 1$。

$1 = -1 + n$ より、$n = 2$。

したがって、直線の式は、$y = x + 2$。

(3) △AOBの面積を求める。

直線ABの式は$y = x + 2$。この直線とy軸との交点をCとする。

Cの座標は$(0,2)$となる。

△AOBの面積は、△AOCの面積と△BOCの面積の和に等しい。

△AOCの面積は、底辺OC $= 2$、高さ$= 1$ なので、$\frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$。

△BOCの面積は、底辺OC $= 2$、高さ$= 2$ なので、$\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。

したがって、△AOBの面積は、$1 + 2 = 3$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1, b = 4$

(2) $y = x + 2$

(3) 3