与えられた6つの式の分母を有理化する。

1. 問題の内容

与えられた6つの式の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{6}{\sqrt{3}}$

分母と分子に$\sqrt{3}$をかける。

$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

分母と分子に$\sqrt{5}-\sqrt{3}$をかける。

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

(3) $\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$

分母と分子に$3+\sqrt{5}$をかける。

$\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{6\sqrt{2}+2\sqrt{10}}{9-5} = \frac{6\sqrt{2}+2\sqrt{10}}{4} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{3}+2}$

分母と分子に$\sqrt{3}-2$をかける。

$\frac{1}{\sqrt{3}+2} = \frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} = \frac{\sqrt{3}-2}{3-4} = \frac{\sqrt{3}-2}{-1} = 2-\sqrt{3}$

(5) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

分母と分子に$\sqrt{2}+1$をかける。

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2}$

(6) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

分母と分子に$\sqrt{6}-\sqrt{2}$をかける。

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{6-2\sqrt{12}+2}{6-2} = \frac{8-2\sqrt{4 \times 3}}{4} = \frac{8-4\sqrt{3}}{4} = 2-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{3}$

(2) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

(3) $\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

(4) $2-\sqrt{3}$

(5) $3+2\sqrt{2}$

(6) $2-\sqrt{3}$