与えられた数式の分母を有理化する問題です。問題は(3), (4), (5), (6) の4つです。 (3) $\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$ (4) $\frac{1}{\sqrt{3}+2}$ (5) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ (6) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の分母を有理化する問題です。問題は(3), (4), (5), (6) の4つです。

(3) $\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{3}+2}$

(5) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

(6) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(3) 分母の共役な複素数 $3+\sqrt{5}$ を分子と分母にかける。

$\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{6\sqrt{2}+2\sqrt{10}}{9-5} = \frac{6\sqrt{2}+2\sqrt{10}}{4} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

(4) 分母の共役な複素数 $\sqrt{3}-2$ を分子と分母にかける。

$\frac{1}{\sqrt{3}+2} = \frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} = \frac{\sqrt{3}-2}{3-4} = \frac{\sqrt{3}-2}{-1} = 2-\sqrt{3}$

(5) 分母の共役な複素数 $\sqrt{2}+1$ を分子と分母にかける。

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2}$

(6) 分母の共役な複素数 $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ を分子と分母にかける。

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{6-2\sqrt{12}+2}{6-2} = \frac{8-2\sqrt{4\cdot 3}}{4} = \frac{8-4\sqrt{3}}{4} = 2-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

(4) $2-\sqrt{3}$

(5) $3+2\sqrt{2}$

(6) $2-\sqrt{3}$