関数 $y = x^2$ のグラフ上に点 $A(-1, a)$ と $B(2, b)$ があるとき、次の問いに答えます。 (1) $a$ と $b$ の値をそれぞれ求めます。 (2) 2点 $A$, $B$ を通る直線の式を求めます。 (3) $\triangle AOB$ の面積を求めます（ただし、$O$ は原点）。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2$ のグラフ上に点 $A(-1, a)$ と $B(2, b)$ があるとき、次の問いに答えます。

(1) $a$ と $b$ の値をそれぞれ求めます。

(2) 2点 $A$, $B$ を通る直線の式を求めます。

(3) $\triangle AOB$ の面積を求めます（ただし、$O$ は原点）。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ の値を求めます。

点 $A(-1, a)$ は $y=x^2$ 上にあるので、$x=-1$ を代入すると、

$a = (-1)^2 = 1$

点 $B(2, b)$ は $y=x^2$ 上にあるので、$x=2$ を代入すると、

$b = (2)^2 = 4$

(2) 2点 $A(-1, 1)$ と $B(2, 4)$ を通る直線の式を $y = mx + n$ とおきます。

点 $A$ を通るので、$1 = -m + n$

点 $B$ を通るので、$4 = 2m + n$

この2式を連立させて解きます。

$4 = 2m + n$

$1 = -m + n$

上の式から下の式を引くと、$3 = 3m$ より、$m = 1$。

$m = 1$ を $1 = -m + n$ に代入すると、$1 = -1 + n$ より、$n = 2$。

よって、求める直線の式は $y = x + 2$。

(3) $\triangle AOB$ の面積を求めます。

直線 $AB$ の式は $y = x + 2$ なので、$y$ 切片は $(0, 2)$ です。これを点 $C$ とします。

$\triangle AOB = \triangle AOC + \triangle BOC$ であり、線分 $OC$ は共通の底辺となります。

線分 $OC$ の長さは $2$ です。

$\triangle AOC$ の高さは点 $A$ の $x$ 座標の絶対値 $|-1| = 1$ です。

$\triangle BOC$ の高さは点 $B$ の $x$ 座標 $2$ です。

したがって、

$\triangle AOB = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 1 + 2 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $b = 4$

(2) $y = x + 2$

(3) $\triangle AOB = 3$