与えられた2つの関数 (1) $y = 2x - 5$ と (2) $y = \frac{x+3}{x-2}$ の逆関数を求める問題です。(2) については、$x>2$ という条件が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 (1) $y = 2x - 5$ と (2) $y = \frac{x+3}{x-2}$ の逆関数を求める問題です。(2) については、$x>2$ という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x - 5$ の逆関数を求める。

まず、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = 2y - 5$

次に、$y$ について解きます。

$x + 5 = 2y$

$y = \frac{x + 5}{2}$

(2) $y = \frac{x+3}{x-2}$ の逆関数を求める。

まず、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = \frac{y+3}{y-2}$

次に、$y$ について解きます。

$x(y-2) = y + 3$

$xy - 2x = y + 3$

$xy - y = 2x + 3$

$y(x - 1) = 2x + 3$

$y = \frac{2x + 3}{x - 1}$

また、$x > 2$ のとき、$y = \frac{x+3}{x-2} = \frac{x-2 + 5}{x-2} = 1 + \frac{5}{x-2} > 1 + \frac{5}{\infty} = 1$ より、$y > 1$ です。逆関数では $x$ と $y$ が入れ替わるので、$x > 1$ となります。逆関数が $y = \frac{2x+3}{x-1} = \frac{2(x-1)+5}{x-1} = 2 + \frac{5}{x-1}$ なので、$x>1$のとき、$y>2$が保証されます。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{x + 5}{2}$

(2) $y = \frac{2x + 3}{x - 1}$