$x = 1 + \sqrt{3}$ のとき、$x^2 - 4x + 3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = 1 + \sqrt{3}$ のとき、$x^2 - 4x + 3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = 1 + \sqrt{3}$ を与えられた式 $x^2 - 4x + 3$ に代入して計算します。

$x^2 - 4x + 3 = (1 + \sqrt{3})^2 - 4(1 + \sqrt{3}) + 3$

$(1 + \sqrt{3})^2$ を展開します。

$(1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$

次に、$4(1 + \sqrt{3})$ を計算します。

$4(1 + \sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3}$

これらを元の式に代入します。

$x^2 - 4x + 3 = (4 + 2\sqrt{3}) - (4 + 4\sqrt{3}) + 3$

$= 4 + 2\sqrt{3} - 4 - 4\sqrt{3} + 3$

$= (4 - 4 + 3) + (2\sqrt{3} - 4\sqrt{3})$

$= 3 - 2\sqrt{3}$

または、式を因数分解してから代入することもできます。

$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$

$x = 1 + \sqrt{3}$ を代入すると

$(1 + \sqrt{3} - 1)(1 + \sqrt{3} - 3) = (\sqrt{3})(-2 + \sqrt{3}) = -2\sqrt{3} + 3$

3. 最終的な答え

$3 - 2\sqrt{3}$