与えられた式を簡略化する問題です。式は次の通りです。 $ \frac{x}{x+y} - \frac{y}{x-y} + \frac{2y^2}{x^2 - y^2} $

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。式は次の通りです。

$\frac{x}{x+y} - \frac{y}{x-y} + \frac{2y^2}{x^2 - y^2}$

2. 解き方の手順

まず、分母を共通化します。$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ なので、すべての項の分母を $(x+y)(x-y)$ に揃えます。

$\frac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)} - \frac{y(x+y)}{(x-y)(x+y)} + \frac{2y^2}{(x+y)(x-y)}$

次に、分子を計算します。

$\frac{x^2 - xy}{(x+y)(x-y)} - \frac{xy + y^2}{(x+y)(x-y)} + \frac{2y^2}{(x+y)(x-y)}$

3つの項をまとめます。

$\frac{x^2 - xy - xy - y^2 + 2y^2}{(x+y)(x-y)}$

分子を簡略化します。

$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{(x+y)(x-y)}$

分子を因数分解します。分子は $(x-y)^2$ となります。分母は $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ なので、

$\frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)}$

$(x-y)$ で約分します。

$\frac{x-y}{x+y}$

3. 最終的な答え

$\frac{x-y}{x+y}$