3点 $(1,-4)$, $(-2,-16)$, $(3,-6)$ を通る2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

3点 $(1,-4)$, $(-2,-16)$, $(3,-6)$ を通る2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

この関数が与えられた3点を通るので、それぞれの点の座標を代入して、3つの式を得る。

点 $(1, -4)$ を通ることから、

$a(1)^2 + b(1) + c = -4$

$a + b + c = -4$ ...(1)

点 $(-2, -16)$ を通ることから、

$a(-2)^2 + b(-2) + c = -16$

$4a - 2b + c = -16$ ...(2)

点 $(3, -6)$ を通ることから、

$a(3)^2 + b(3) + c = -6$

$9a + 3b + c = -6$ ...(3)

(2) - (1) より、

$(4a - 2b + c) - (a + b + c) = -16 - (-4)$

$3a - 3b = -12$

$a - b = -4$ ...(4)

(3) - (1) より、

$(9a + 3b + c) - (a + b + c) = -6 - (-4)$

$8a + 2b = -2$

$4a + b = -1$ ...(5)

(4) + (5) より、

$(a - b) + (4a + b) = -4 + (-1)$

$5a = -5$

$a = -1$

(4)に $a = -1$ を代入して、

$-1 - b = -4$

$b = 3$

(1)に $a = -1$, $b = 3$ を代入して、

$-1 + 3 + c = -4$

$2 + c = -4$

$c = -6$

よって、求める2次関数は $y = -x^2 + 3x - 6$ である。

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 3x - 6$