複素数 $z$ が方程式 $|z| = 2|z + 3|$ を満たすとき、$z$ が複素数平面上でどのような図形を描くかを求め、その図形の中心と半径を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が方程式 $|z| = 2|z + 3|$ を満たすとき、$z$ が複素数平面上でどのような図形を描くかを求め、その図形の中心と半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + yi$ （$x$, $y$ は実数）とおきます。与えられた方程式は

$|z| = 2|z + 3|$

となります。これを $x$, $y$ で表すと、

$|x + yi| = 2|x + 3 + yi|$

となります。両辺を2乗すると

$|x + yi|^2 = 4|x + 3 + yi|^2$

$x^2 + y^2 = 4((x + 3)^2 + y^2)$

$x^2 + y^2 = 4(x^2 + 6x + 9 + y^2)$

$x^2 + y^2 = 4x^2 + 24x + 36 + 4y^2$

$0 = 3x^2 + 24x + 3y^2 + 36$

$0 = x^2 + 8x + y^2 + 12$

$x^2 + 8x + y^2 = -12$

$(x^2 + 8x + 16) + y^2 = -12 + 16$

$(x + 4)^2 + y^2 = 4$

これは、中心が $-4$, 半径が $2$ の円を表します。

3. 最終的な答え

中心：-4

半径：2