等差数列 $\{a_n\}$ が $a_{10} = 3$, $a_{24} = 10$ を満たすとき、$a_n$ を $n$ の式で表し、$\sum_{k=10}^{24} a_k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ が $a_{10} = 3$, $a_{24} = 10$ を満たすとき、$a_n$ を $n$ の式で表し、$\sum_{k=10}^{24} a_k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項を求める。

$a_n = a + (n-1)d$ とおく。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。

$a_{10} = a + 9d = 3$

$a_{24} = a + 23d = 10$

この2つの式を連立させて、$a$ と $d$ を求める。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$14d = 7$

$d = \frac{1}{2}$

これを $a + 9d = 3$ に代入すると、

$a + 9(\frac{1}{2}) = 3$

$a = 3 - \frac{9}{2} = \frac{6 - 9}{2} = -\frac{3}{2}$

したがって、$a_n = -\frac{3}{2} + (n-1)\frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}n - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}n - 2$

次に、$\sum_{k=10}^{24} a_k$ を求める。

これは等差数列の和であるから、

$\sum_{k=10}^{24} a_k = \frac{\text{項数}}{2} (\text{初項} + \text{末項})$

項数は $24 - 10 + 1 = 15$

初項は $a_{10} = 3$

末項は $a_{24} = 10$

したがって、

$\sum_{k=10}^{24} a_k = \frac{15}{2} (3 + 10) = \frac{15}{2} \cdot 13 = \frac{195}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{2}n - 2$

$\sum_{k=10}^{24} a_k = \frac{195}{2}$

したがって、

1: 1

2: 2

3: 2

4: 1

5: 9

6: 5

7: 2