大問7は3つの小問から構成されています。 (1) 56, 168, 252の最大公約数と最小公倍数を求めます。 (2) 整数$a, b$が与えられた条件を満たすとき、$a+b$と$ab$を8で割ったときの余りを求めます。 (3) 248と93の最大公約数を互除法を用いて求めます。

1. 問題の内容

大問7は3つの小問から構成されています。

(1) 56, 168, 252の最大公約数と最小公倍数を求めます。

(2) 整数$a, b$が与えられた条件を満たすとき、$a+b$と$ab$を8で割ったときの余りを求めます。

(3) 248と93の最大公約数を互除法を用いて求めます。

2. 解き方の手順

(1) 56, 168, 252の最大公約数と最小公倍数を求めます。

まず、それぞれの数を素因数分解します。

$56 = 2^3 \times 7$

$168 = 2^3 \times 3 \times 7$

$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

最大公約数は、共通の素因数の最小の指数を取ります。

最大公約数は $2^2 \times 7 = 4 \times 7 = 28$

最小公倍数は、全ての素因数の最大の指数を取ります。

最小公倍数は $2^3 \times 3^2 \times 7 = 8 \times 9 \times 7 = 504$

(2) $a$を8で割ると5余り、$b$を8で割ると7余るとき、$a+b$と$ab$を8で割ったときの余りを求めます。

$a = 8k + 5$ ($k$は整数)

$b = 8l + 7$ ($l$は整数)

$a+b = (8k + 5) + (8l + 7) = 8(k+l) + 12 = 8(k+l+1) + 4$

したがって、$a+b$を8で割った余りは4です。

$ab = (8k + 5)(8l + 7) = 64kl + 56k + 40l + 35 = 8(8kl + 7k + 5l + 4) + 3$

したがって、$ab$を8で割った余りは3です。

(3) 248と93の最大公約数を互除法を用いて求めます。

$248 = 93 \times 2 + 62$

$93 = 62 \times 1 + 31$

$62 = 31 \times 2 + 0$

したがって、248と93の最大公約数は31です。

3. 最終的な答え

(1) 最大公約数は 28, 最小公倍数は 504

(2) $a+b$を8で割った余りは 4, $ab$を8で割った余りは 3

(3) 248と93の最大公約数は 31