2つのチームGとHが6回試合をする。Hが勝つ確率は $2/3$ 、Gが勝つ確率は $1/3$ である。引き分けはないものとする。以下の問いに答える。 (1) 6回の試合終了後に、Hが合計3勝している確率を求めよ。 (2) GとHのそれぞれの勝ち数が、(はじめを除き)6回後に初めて等しくなる確率を求めよ。 (3) 6回の各試合終了後に、HがGを1勝以上の差をつけてリードし続ける確率を求めよ。

1. 問題の内容

2つのチームGとHが6回試合をする。Hが勝つ確率は $2/3$ 、Gが勝つ確率は $1/3$ である。引き分けはないものとする。以下の問いに答える。

(1) 6回の試合終了後に、Hが合計3勝している確率を求めよ。

(2) GとHのそれぞれの勝ち数が、(はじめを除き)6回後に初めて等しくなる確率を求めよ。

(3) 6回の各試合終了後に、HがGを1勝以上の差をつけてリードし続ける確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) Hが3勝する確率は、二項分布に従う。

6回中3回Hが勝つ確率は、

${}_6 C_3 \times (\frac{2}{3})^3 \times (\frac{1}{3})^3$

${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、確率は $20 \times (\frac{2}{3})^3 \times (\frac{1}{3})^3 = 20 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{27} = \frac{160}{729}$

(2) 6回後に初めて勝ち数が等しくなるということは、3勝3敗となる。

1回目から5回目までは、常にどちらかが勝っている必要がある。

6回目に初めて同点になるパターンを考える。

Hがi勝、Gがj勝するとき、i > j or j > i for all rounds n < 6

この問題はカタラン数に関連している。

最初にHが勝つ場合を考える。 Hが勝つ確率をH, Gが勝つ確率をGとする。

HHHGGG, HHGHGG, HHG G HG, HGHHGG, HGHGHG

HG H GGH ...などのパターンを考える。

Hが先行し、最終的に3勝3敗となる組み合わせを考える。これはカタラン数を用いて求めることができる。カタラン数 $C_n = \frac{1}{n+1}{}_{2n}C_n$ を用いる。

求めるものは $C_2 = \frac{1}{3}{}_4C_2 = \frac{1}{3}\times\frac{4\times 3}{2\times 1} = 2$

つまり、Hが常にリードするルートと、Gが常にリードするルートがある。

Hが常にリードするパターンはHHHGGG, HHGHGG とHGhhggではない？

HHHHGG

HGHHGG

HHGHGG

HHGGHH

HGHGHG

GHHHHH

GGHHHH

GGGhhh

まず最初の1回でHが勝つ必要がある。

したがって、Hが最初に勝ち、その後5回で2勝3敗となる場合を考える。

$(\frac{2}{3}) \times$ Hが2勝Gが3勝で初めて同点になる確率。

全組み合わせは

$2 \times {}_5 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{2}{3})^1$

(3) 各試合終了後、HがGを1勝以上の差をつけてリードし続ける確率を求める。

これは、Hが常にリードし続ける確率と同じである。

Hが最初に勝つ必要がある。

最初の1回でHが勝ち、その後5回もHがGより多く勝つ必要がある。

つまり、Hが4勝以上する必要がある。

5回中、Hが4勝または5勝する必要がある。

${}_5 C_4 (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^1 + {}_5 C_5 (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^0$

$= 5 (\frac{16}{81}) (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{32}{243}) (1) = \frac{80}{243} + \frac{32}{243} = \frac{112}{243}$

したがって、求める確率は $\frac{2}{3} \times \frac{112}{243} = \frac{224}{729}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{160}{729}$

(2) 解答不能

(3) $\frac{224}{729}$