媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表されるとき、この式が$xy$平面上でどのような曲線を表すか調べる問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表されるとき、この式が$xy$平面上でどのような曲線を表すか調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の式から$t$を消去することを考えます。

$x^2$と$y^2$を計算して、$x^2 + y^2$を求めます。

$x^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 = \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

$y^2 = (\frac{4t}{1+t^2})^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$

したがって、

$x^2 + y^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

これはきれいな形になりそうにありません。別の方法を試します。

$x^2+y^2$を直接計算せずに、 $x$と$y$に関する何らかの関係式を見つけることを目指します。

まず、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$を変形してみましょう。

$x(1+t^2) = 1-t^2$

$x + xt^2 = 1-t^2$

$t^2(x+1) = 1-x$

もし $x \neq -1$ なら、$t^2 = \frac{1-x}{1+x}$ となります。

これを$y = \frac{4t}{1+t^2}$の式に代入することを考えます。$t = \frac{y(1+t^2)}{4}$なので、$t^2 = (\frac{y(1+t^2)}{4})^2 = \frac{y^2(1+t^2)^2}{16}$となります。

$t^2 = \frac{1-x}{1+x}$ を $y = \frac{4t}{1+t^2}$ の式に代入すると、

$y^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{16 \frac{1-x}{1+x}}{(1+ \frac{1-x}{1+x})^2} = \frac{16 \frac{1-x}{1+x}}{(\frac{1+x+1-x}{1+x})^2} = \frac{16 \frac{1-x}{1+x}}{\frac{4}{ (1+x)^2}} = \frac{16(1-x)(1+x)^2}{4(1+x)} = 4(1-x)(1+x) = 4(1-x^2)$

したがって、$y^2 = 4(1-x^2)$. よって $\frac{y^2}{4} = 1-x^2$より $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$となります。

これは楕円を表します。ただし、$x \neq -1$なので、楕円の一部の範囲のみが対象となります。

$x=-1$ とすると、$\frac{1-t^2}{1+t^2} = -1$ から $1-t^2 = -1 -t^2$ より $1 = -1$ となり、これは矛盾します。

$x=-1$のとき、$1+x = 0$となり、$t^2 = \frac{1-x}{1+x}$が定義できないことを意味します。

$t$がどんな値をとっても、$x = -1$となることはありません。$t$が実数全体を動くとき、$x$は$-1$以外の実数をとります。

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$は楕円を表しており、x軸方向に1、y軸方向に2の半径を持ちます。

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ （ただし、x=-1を除く）

xy平面上で、楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ を表します。