与えられた連立不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $y \leq x+3$, $y \leq -2x+6$ が表す領域Aについて、以下の問題を解く。 (1) $3x+y$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。 (2) $-x+2y$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $y \leq x+3$, $y \leq -2x+6$ が表す領域Aについて、以下の問題を解く。

(1) $3x+y$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

(2) $-x+2y$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

領域Aは、4つの不等式によって囲まれた四角形の周および内部である。

(1) $3x+y = k$ とおく。これは傾き $-3$、y切片 $k$ の直線を表す。この直線が領域Aと共有点を持つような最大の $k$ が $3x+y$ の最大値となる。

領域Aの頂点の座標を求める。

\begin{itemize}

\item $x=0, y=0$: $(0, 0)$

\item $x=0, y=3$: $(0, 3)$

\item $y=0, y=-2x+6$: $0 = -2x+6$ より $x=3$. $(3, 0)$

\item $y=x+3, y=-2x+6$: $x+3 = -2x+6$ より $3x = 3$ よって $x=1$. $y=1+3 = 4$. $(1, 4)$

\end{itemize}

四つの頂点 $(0, 0)$, $(0, 3)$, $(3, 0)$, $(1, 4)$ における $3x+y$ の値を計算する。

\begin{itemize}

\item $(0, 0)$: $3(0)+0 = 0$

\item $(0, 3)$: $3(0)+3 = 3$

\item $(3, 0)$: $3(3)+0 = 9$

\item $(1, 4)$: $3(1)+4 = 7$

\end{itemize}

最大値は $9$ で、そのときの $(x, y) = (3, 0)$.

(2) $-x+2y = l$ とおく。これは傾き $1/2$、y切片 $l/2$ の直線を表す。この直線が領域Aと共有点を持つような最大の $l$ が $-x+2y$ の最大値となる。

四つの頂点 $(0, 0)$, $(0, 3)$, $(3, 0)$, $(1, 4)$ における $-x+2y$ の値を計算する。

\begin{itemize}

\item $(0, 0)$: $-0+2(0) = 0$

\item $(0, 3)$: $-0+2(3) = 6$

\item $(3, 0)$: $-3+2(0) = -3$

\item $(1, 4)$: $-1+2(4) = 7$

\end{itemize}

最大値は $7$ で、そのときの $(x, y) = (1, 4)$.

3. 最終的な答え

(1) $3x+y$ の最大値は $9$. そのとき $x=3, y=0$.

(2) $-x+2y$ の最大値は $7$. そのとき $x=1, y=4$.