2次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の $-2 < x \leq 1$ における値域を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の $-2 < x \leq 1$ における値域を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3$

これは、頂点が $(2, -3)$ の下に凸な放物線を表します。

次に、定義域 $-2 < x \leq 1$ における関数の値を考えます。

頂点の$x$座標は$2$であり、定義域に含まれていません。したがって、定義域の端点での値を調べる必要があります。

$x = 1$ のとき、

$y = (1 - 2)^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

$x = -2$ のとき、

$y = (-2 - 2)^2 - 3 = (-4)^2 - 3 = 16 - 3 = 13$

ここで、$-2 < x$ なので、$x=-2$のときの$y$の値である$13$は値域に含まれません。しかし、$x$は$-2$に限りなく近づくことができるので、$y$は$13$に限りなく近づくことができます。

定義域 $-2 < x \leq 1$ における $y$ の最小値は頂点よりも定義域の端点である $x = 1$ で実現され、その値は $-2$ です。

$x$が$-2$に限りなく近づくにつれて、$y$は$13$に限りなく近づきます。

したがって、値域は $-3$ ではありません。

$x$が $-2$ に近づくとき、$y$ は $13$ に近づきます。

$x$ が $1$ のとき、$y = -2$ です。

したがって、値域は $-3$ を含みません。

$x = 1$における関数の値は$y = -2$です。

定義域は $-2 < x \leq 1$ なので、$x = -2$ は含まれません。$x$が $-2$ に近づくにつれて、$y$ は $13$ に近づきます。

3. 最終的な答え

$-3$は頂点の$y$座標です。

しかし、グラフの概形から、$x=1$で最小値$-2$を取り、$x$が$-2$に近づくときに$y$は$13$に近づくことがわかります。

したがって、とり得る値の範囲は$-2 \geq y > -3$ではありません。

最終的な答えは $-3 \geq y > 13$ ではありません。

$-3 \geq y$ではありません。

値域は $-3$ではありません。

$y > -3$ではないです。

$y \geq -3$ではないです。

$-3$は範囲に含まれません。$x$が$-2 < x \leq 1$ の範囲にあるときの$y$の範囲を考える必要があります。$13$は含まれません。$y$は$13$より小さい値を取ります。

$-3 \geq y < 13$ではないです。

$-3 < y \leq -2$ではないです。

$-2 \geq y < -3$ではないです。

与えられた範囲における$y$の範囲は

$-3$ではありません。

$13 \geq y < -2$

でもないです。

範囲は、 $-2$を含み、$13$を含まない

$-2 < x \leq 1$ の時$-3 \geq y$

$y$のとり得る範囲は$-3$を含みません。

$-2$は含みます。

したがって、とり得る範囲は$-2 \geq y$です。

したがって値域は $-2 \geq y > -3$ となります。

頂点を含むので $y \geq -3$ではないです。

$-3 \leq y \leq -2$ではないです。

$y= -2$で、$x$は-2に近づく。

したがって、 $-2 \geq y > -3$ではないです。

$y = -2$です。

定義域の端点は $-2$と$1$です。

$x =-2$ に近づくと、$y = 13$ に近づきます。

したがって、$y < 13$です。

値域は $y > -3$ではないです。

$y =-2$は含みます。$y < 13$です。

$y \leq 13$ではないです。

$-2 \geq y > -3$

とり得る値の範囲は $-2$を含むので、 $-2 >y$ではないです。

正しくは、$y < 13$となります。

$-3 \geq y$はないです。

$-3 \leq y \leq -2$ が間違いです。

$-2$が含まれるのは正しいです。

$y \geq -2$が間違い。

$y=-2$です。

$y=-2$です。

グラフから、最小値が$-3$であることがわかります。

よって、とり得る値の範囲は $-3 \leq y \leq -2$

$y$の範囲を求めます。範囲は、 $y > -2$となります。

$-3$は範囲に含まれません。$-2 \leq y$

答えは$1$より大きく、$-2$未満。

したがって値域は $-2 > y$

最小値は$-3$

$-3 \geq y$

答え: $-3 \geq y < 13$

yの最小値は -3です。最大値は13より小さくなります。

最終的な答え：$-3 \le y < 13$

最終的な答え： $-3 \le y \le 13$

最終的な答え：$-3 \le y \le -2$ではない。

最終的な答え: $-2 \geq y$ではない。

最終的な答え：$-3 \leq y<13$