2次関数の最大値・最小値を求める問題です。 (1) $y = -(x-2)^2 + 6$ の最大値・最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。 (2) $y = x^2 + 6x + 7$ の最大値・最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数の最大値・最小値を求める問題です。

(1) $y = -(x-2)^2 + 6$ の最大値・最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

(2) $y = x^2 + 6x + 7$ の最大値・最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた関数は $y = -(x-2)^2 + 6$ です。これは平方完成された形なので、頂点が $(2, 6)$ であることがわかります。

$x^2$ の係数が負の数（-1）であるため、この関数は上に凸のグラフを持ち、最大値を持ちます。

$y$ は $x = 2$ のとき、最大値 $6$ をとります。

最小値はありません（$-\infty$に発散します）。

(2)

与えられた関数は $y = x^2 + 6x + 7$ です。これを平方完成します。

$y = x^2 + 6x + 7 = (x^2 + 6x) + 7$

$y = (x^2 + 6x + 9 - 9) + 7 = (x+3)^2 - 9 + 7$

$y = (x+3)^2 - 2$

したがって、$y = (x+3)^2 - 2$ と変形できます。頂点は $(-3, -2)$ です。

$x^2$ の係数が正の数（1）であるため、この関数は下に凸のグラフを持ち、最小値を持ちます。

$y$ は $x = -3$ のとき、最小値 $-2$ をとります。

最大値はありません（$\infty$に発散します）。

3. 最終的な答え

(1)

$y$ は $x = 2$ で 最大値 $6$ をとる。

最小値 はない。

(2)

$y = (x+3)^2 -9 + 7 = (x+3)^2 -2$ と変形できるので、

$y$ は $x = -3$ で 最小値 $-2$ をとる。

最大値 はない。