## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

画像に記載された数学の問題は、大きく分けて2つのパートに分かれています。

* **74:** 複数の式が与えられ、それらを計算して簡単にする問題です。各式は平方根を含んでおり、平方根の加算、減算が含まれます。

* **75:** こちらも複数の式が与えられ、計算して簡単にする問題です。各式は平方根を含んでおり、平方根の乗算、展開が含まれます。

以下、各問題について個別に解答します。

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2. 解き方の手順と答え

#### 74

(1) $2\sqrt{5} + 6\sqrt{5} - 4\sqrt{5}$

同類項をまとめる。

$2\sqrt{5} + 6\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = (2+6-4)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

(2) $2\sqrt{5} - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{5}$

同類項をまとめる。

$2\sqrt{5} - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{5} = (2+1)\sqrt{5} + (-4-3)\sqrt{2} = 3\sqrt{5} - 7\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{18} + \sqrt{50}$

それぞれを簡単にする。

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

よって、

$\sqrt{18} + \sqrt{50} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{45} - \sqrt{20}$

それぞれを簡単にする。

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

よって、

$\sqrt{45} - \sqrt{20} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$

(5) $\sqrt{48} + 5\sqrt{3} - \sqrt{12}$

それぞれを簡単にする。

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

よって、

$\sqrt{48} + 5\sqrt{3} - \sqrt{12} = 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (4+5-2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

(6) $\sqrt{28} - \sqrt{63} + \sqrt{112}$

それぞれを簡単にする。

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$

$\sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = 4\sqrt{7}$

よって、

$\sqrt{28} - \sqrt{63} + \sqrt{112} = 2\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 4\sqrt{7} = (2-3+4)\sqrt{7} = 3\sqrt{7}$

#### 75

(1) $(\sqrt{7} + \sqrt{2})(2\sqrt{7} + 3\sqrt{2})$

展開する。

$(\sqrt{7} + \sqrt{2})(2\sqrt{7} + 3\sqrt{2}) = \sqrt{7} \times 2\sqrt{7} + \sqrt{7} \times 3\sqrt{2} + \sqrt{2} \times 2\sqrt{7} + \sqrt{2} \times 3\sqrt{2}$

$= 2 \times 7 + 3\sqrt{14} + 2\sqrt{14} + 3 \times 2$

$= 14 + 5\sqrt{14} + 6$

$= 20 + 5\sqrt{14}$

(2) $(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$

展開する。

$(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} + \sqrt{2} \times 3\sqrt{3} + \sqrt{2} \times 2\sqrt{2}$

$= 6 \times 3 + 4\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 2 \times 2$

$= 18 + 7\sqrt{6} + 4$

$= 22 + 7\sqrt{6}$

(3) $(3\sqrt{2} + \sqrt{6})^2$

展開する。

$(3\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \times 3\sqrt{2} \times \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2$

$= 9 \times 2 + 6\sqrt{12} + 6$

$= 18 + 6 \times 2\sqrt{3} + 6$

$= 18 + 12\sqrt{3} + 6$

$= 24 + 12\sqrt{3}$

(4) $(2\sqrt{6} - \sqrt{3})^2$

展開する。

$(2\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{6})^2 - 2 \times 2\sqrt{6} \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

$= 4 \times 6 - 4\sqrt{18} + 3$

$= 24 - 4 \times 3\sqrt{2} + 3$

$= 24 - 12\sqrt{2} + 3$

$= 27 - 12\sqrt{2}$

(5) $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$

和と差の積の公式を利用する。 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2$

$= 5 - 2$

$= 3$

(6) $(2\sqrt{7} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})$

和と差の積の公式を利用する。 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

$(2\sqrt{7} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3}) = (2\sqrt{7})^2 - (3\sqrt{3})^2$

$= 4 \times 7 - 9 \times 3$

$= 28 - 27$

$= 1$

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3. 最終的な答え

#### 74

(1) $4\sqrt{5}$

(2) $3\sqrt{5} - 7\sqrt{2}$

(3) $8\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{5}$

(5) $7\sqrt{3}$

(6) $3\sqrt{7}$

#### 75

(1) $20 + 5\sqrt{14}$

(2) $22 + 7\sqrt{6}$

(3) $24 + 12\sqrt{3}$

(4) $27 - 12\sqrt{2}$

(5) $3$

(6) $1$