$x^3 = 1$ という方程式を複素数の範囲で解きます。

1. 問題の内容

$x^3 = 1$ という方程式を複素数の範囲で解きます。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 1 = 0$ と変形します。

次に、左辺を因数分解します。因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いると、

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) = 0$ となります。

したがって、$x - 1 = 0$ または $x^2 + x + 1 = 0$ を解けばよいことになります。

$x - 1 = 0$ より、$x = 1$ が得られます。

$x^2 + x + 1 = 0$ は二次方程式なので、解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ より、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

となります。ここで、$i$ は虚数単位です。

3. 最終的な答え

$x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$