以下の3つの問題に答えます。 (1) 関数 $y = \frac{1}{2}x + 5$ で、$x$ の値が $-2$ から $6$ まで増加したときの $y$ の増加量を求める。 (2) 直線 AC の式を求める。 (3) AC // DB のとき、 ① 点 D の座標を求める。 ② △ABC の面積と △ODB の面積の比を最も簡単な整数の比で表す。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

以下の3つの問題に答えます。

(1) 関数 $y = \frac{1}{2}x + 5$ で、$x$ の値が $-2$ から $6$ まで増加したときの $y$ の増加量を求める。

(2) 直線 AC の式を求める。

(3) AC // DB のとき、

① 点 D の座標を求める。

② △ABC の面積と △ODB の面積の比を最も簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

(1) $y$ の増加量を求める

$x$ が $-2$ のとき、$y = \frac{1}{2} \times (-2) + 5 = -1 + 5 = 4$

$x$ が $6$ のとき、$y = \frac{1}{2} \times 6 + 5 = 3 + 5 = 8$

$y$ の増加量は $8 - 4 = 4$

(2) 直線 AC の式を求める

点Aの座標は$x=-2$なので、$y = \frac{1}{2} \times (-2) + 5 = 4$。よってA(-2,4)

点Cの座標はy軸上なので、x=

0. よってC(0,9)

直線ACの式を$y = ax + b$と置くと

A(-2,4)を通るので、$4 = -2a + b$

C(0,9)を通るので、$9 = 0a + b$ よって、$b = 9$

$4 = -2a + 9$ を解くと $2a = 5$ より $a = \frac{5}{2}$

よって、直線ACの式は $y = \frac{5}{2}x + 9$

(3) AC // DBのとき

① 点Dの座標を求める。

AC // DBなので、DBの傾きは$\frac{5}{2}$

点Bの座標は$x=6$なので、$y = \frac{1}{2} \times 6 + 5 = 8$。よってB(6,8)

DBの式を $y = \frac{5}{2}x + d$とおく。

B(6,8)を通るので、$8 = \frac{5}{2} \times 6 + d = 15 + d$

$d = 8 - 15 = -7$

DBの式は $y = \frac{5}{2}x - 7$

点Dはx軸上にあるのでy=0。

$0 = \frac{5}{2}x - 7$

$\frac{5}{2}x = 7$

$x = \frac{14}{5}$

よってD($\frac{14}{5}$,0)

② △ABC の面積と △ODB の面積の比を最も簡単な整数の比で表す。

点A(-2,4)、B(6,8)、C(0,9)

△ABCの面積 = $\frac{1}{2} |(-2)(8-9) + 6(9-4) + 0(4-8)| = \frac{1}{2} |2+30+0| = 16$

点O(0,0)、D($\frac{14}{5}$,0)、B(6,8)

△ODBの面積 = $\frac{1}{2} |(0)(0-8) + \frac{14}{5}(8-0) + 6(0-0)| = \frac{1}{2} |\frac{112}{5}| = \frac{56}{5}$

△ABC : △ODB = $16 : \frac{56}{5} = 80 : 56 = 10 : 7$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $y = \frac{5}{2}x + 9$

(3) ① ($\frac{14}{5}$, 0)

② 10 : 7